1.2.4. Полная производная

Пусть v = v(x, t) — поле скоростей сплошной среды, а f = f(x, t) = f ^E(x, t) — скалярная, векторная или тензорная функция (здесь индекс ^E подчеркивает, что функция задана в эйлеровых переменных). Полной производной функции f называется функция

(x, t) →  ∂f(x, t) ∂t  +  ∂f(x, t) ∂x ⟨v(x, t)⟩.

Обозначается полная производная (d/dt)f(x, t) (не путать с (∂/∂t)f(x, t) или f_t'(x, t)). Пусть f ^L(ξ, t) — представление функции f в лагранжевых переменных:

f L(ξ, t) = f E[γ(ξ, t), t] = f[γ(ξ, t), t].

Дифференцирование по t этого тождества (напомним, что x = γ(ξ, t), а v = ∂γ/∂t) приводит к следующей формуле, выражающей полную производную в переменных Лагранжа:

d dt f(x, t) =  ∂ ∂t f L(ξ, t).