1.6.1. О классе уравнений

Дифференциальные уравнения, составляющие ту или иную модель механики сплошной среды, представляют собой, как правило, математический объект, не встречавшийся ранее в университетских курсах — это так называемые дифференциальные уравнения с частными производными (или в частных производных). В отличие от случая обыкновенных дифференциальных уравнений, в этих уравнениях неизвестная функция обязательно зависит от нескольких вещественных переменных, и в уравнение входят как значения самóй функции, так и ее некоторых частных производных. Типичный пример — уже встречавшиеся уравнения Эйлера и Навье — Стокса, а также уравнение теплопроводности. Эти уравнения, по сравнению с обыкновенными дифференциальными, представляют собой существенно более сложный математический объект. В зависимости от того, какие частные производные и с какими "коэффициентами" входят в уравнение, они (вернее, их решения) могут принципиально менять свое поведение. И если линейные уравнения с частными производными еще допускают какую-либо классификацию по типам поведения решений, то нелинейные уравнения демонстрируют настолько индивидуальный нрав, что впору каждое уравнение относить к отдельному классу.