1.6.6. Краевые задачи для стационарного уравнения теплопроводности

Поскольку стационарное уравнение теплопроводности описывает равновесное распределение тепла в сплошной среде, естественно не требуется задавать начальные условия, а нужно только задать условия, описывающие теплообмен (также равновесный, стационарный) с окружающей средой, т. е. краевые условия. Выглядят они, фактически, так же, как и в нестационарном случае: первое краевое условие

u(x) = γ(x),   x ∈ Γ,

(8)

или

u|Γ = γ,

а второе краевое условие

∂u(x) ∂n  = γ,   x ∈ Γ,

(9)

или

∂u ∂n | Γ  = γ.

Краевые задачи (6), (8) и (7), (8) называют часто задачами Дирихле, а (6), (9) и (7), (9) — задачами Неймана.

Условия разрешимости, так же, как и в нестационарном случае, мы приводить не будем, и будем считать, что решения существуют, единственны и достаточно гладки.