Введение в математическое моделирование

2.2.2. Аппроксимация первой производной

Из курса "Введение в численный анализ" известна задача об аппроксимации производных функции по конечному числу ее значений. Пусть u: [a, b] →R — достаточно гладкая функция. Обозначим через L¹ оператор дифференцирования: L¹ = d/dx, или (L¹u)(x) = du(x)/dx.

Пусть h — положительное число. Как известно, числа

u(x + h) – u(x)
h , u(x) – u(x – h)
h и u(x + h) – u(x – h)
2h

при малых h могут рассматриваться как приближения для u′(x). Их обычно обозначают u_x+,u_x–и u_x°, соответственно, и называют правой разностной производной (или разностью вперед), левой разностной производной (разностью назад) и центральной разностной производной (центральной разностью). Такое обозначение разностного дифференцирования по x ассоциируется с распространенным обозначением u_x для du/dx и ∂u/∂x.

Эти разности позволяют определить на пространстве сеточных функций F(ω_h) = F({x_i = a + ih, i = 0, ..., n}) операторы, которые могут служить приближениями оператора дифференцирования L¹. А именно, зададим на F(ω_h) операторы L¹_h+, L¹_h–и L¹_h°, определив их значения на сеточной функции u формулами:

(L¹_h+u)(x_i)= u_x+=

u(x_i+1) – u(x_i)
h ,

(L¹_h–u)(x_i)= u_x–=

u(x_i) – u(x_i–1)
h ,

(L¹_h°u)(x_i)= u_x°=

u(x_i+1) – u(x_i–1)
h .

Заметим, что приведенные определения не совсем корректны: очевидно, не определены (L¹_h+u)(x_n),(L¹_h–u)(x₀),(L¹_h°u)(x_n)и (L¹_h°u)(x₀).К этому, на самом деле важному вопросу о том, что делать в граничных точках, мы вернемся позднее.

Возникает вопрос: насколько хорошо аппроксимируют функции L¹_h+u,L¹_h–u,L¹_h°uфункцию L¹u, если u_h = L_hu? Разумеется, в такой общей постановке для произвольной функции ответ на этот вопрос — ни насколько. Для достаточно же гладких функций ответ прост.