2.1.6. Сеточные функции

Допустим, теперь мы рассматриваем некоторое пространство F(Ω) (пока скалярных) функций, определенных на замыкании Ω области Ω, и пусть ω — сетка на Ω. Обозначим через F(ω) пространство скалярных функций, заданных на (конечном!) множестве ω. Это пространство называется пространством сеточных функций, а его элементы — сеточнымифункциями. Это пространство становится линейным, если на нем ввести операции поточечного сложения и умножения на скаляры. Кроме того, поскольку после (произвольной) нумерации всех узлов сетки: ω = {xi}mi=1каждую сеточную функцию u можно отождествить с упорядоченным набором m чисел: u ∼ (u(x1), ..., u(xm), пространство F(ω) становится изоморфным линейному пространству всех таких наборов, т. е. пространству Rm. Таким образом, пространство сеточных (скалярных) функций на сетке, содержащей m узлов, является m-мерным линейным пространством.

В пространстве сеточных функций F(ω) вводится норма, в том или ином смысле соответствующая норме в исходном пространстве F(Ω). Смысл этой фразы будет постепенно проясняться ниже. Пока мы укажем две наиболее распространенные нормировки пространства сеточных функций. Первая из них, называемая C-нормой, или равномерной нормой, задается равенством

||u|| = ||u||C =  max x∈ω |u(x)|.

Вторая норма называется L₂-нормой, или l₂-нормой, или квадратичной нормой и задается равенством

||u|| = ||u||L2 =||u||l2 =  (   ∑ x∈ω  |u(x)|2h ) 1/2 .