2.2.1. Объект аппроксимации

На первом этапе мы будем рассматривать следующие простейшие дифференциальные операторы в простейших областях:

Lu = Δu,   x ∈ Ω = (0, X1) × (0, X2)

и

Lu =  ∂u ∂t  –  ∂2 ∂x2 ,   (x, t) ∈ D = Ω × (0, T) = (0, X) × (0, T).

Предположим, что на множествах Ω и D (Ω и D — замыкания областей Ω и D, соответственно) заданы прямоугольные равномерные сетки (в первом случае с шагами h₁ и h₂, а во втором — с шагами h и τ). Предположим также, что на множествах Ω и D мы аппроксимировали функцию u последовательностью сеточных функций u_h. Задача заключается в том, чтобы аппроксимировать функцию Lu последовательностью сеточных функций.

Сначала рассмотрим задачу об аппроксимации производных функции одной вещественной переменой.