2.2.3. Теорема о порядке аппроксимации первой производной

Если функция  u  дважды непрерывно дифференцируема, то

||L1h+Lhu– LhL1u||° = O(h),   ||L1h–Lhu– LhL1u||° = O(h)

и

||L1h°Lhu– LhL1u||° = O(h),

а если  u  трижды непрерывно дифференцируема, то

||L1h°Lhu– LhL1u||° = O(h2),

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Разложив u(x_i+1) по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

u(xi+1) = u(xi) + hu′(xi) +   h2 2! u′′(ξi),

где ξi ∈ (xi, xi+1), и подставив это разложение в определение (L1h+uh)(xi),получим (напомним, uh = Lhu)

||L1h+Lhu– LhL1u||° =  max 0<i<n | u(xi+1) – u(xi) h  – u′(xi) |  =

=  max 0<i<n | | | | u(xi) + hu′(xi) +   h2 2! u′′(ξi) – u(xi) h – u′(xi) | | | |  =

=  max 0<i<n | h 2  u′′(ξi) |  ≤  h 2 M2 = O(h),

где M₂ = sup_a≤x≤b|u′′(x)|.

Оценки ||L1h–uh– LhL1u||°и ||L1h°uh– LhL1u||° полностью аналогичны.

Если u трижды непрерывно дифференцируема, то для более точной оценки ||L1h°uh– LhL1u||° достаточно разложить u(xi+1) и u(xi–1) по формуле Тейлора до членов третьего порядка. В результате получится оценка

||L1h°uh– LhL1u||°≤  max 0<i<n | h2 12 u′′′(ξi) +  h2 12 u′′′(ζi)  |  ≤  h2 6 M3 = O(h2),

где M₃ = sup_a≤x≤b|u′′′(x)|.

Утверждение этой теоремы часто выражают словами разности вперед и назад аппроксимируют первую производную с первым порядком (точности), а центральные — со вторым. К вопросу о порядке аппроксимации мы еще вернемся.