0.1.5. Ковариантные и контравариантные компоненты

Любой вектор x ∈ R^m можно разложить как по произвольному базису {e_i}:

x = xiei,

так и по соответствующему ему кобазису {eⁱ}:

x = xiei.

Соответствующие координаты x_i = x·e_i называются ковариантными компонентами (или координатами) вектора x, а координаты xⁱ = x·eⁱ — контравариантными компонентами (или координатами) вектора x. Как легко видеть,

xi = x·ei,   xi = x·ei,   x·y = xiyi = xiyi.

Переход от представления векторов в базисе {e_i} (и соответствующем кобазисе {eⁱ}) к представлению векторов в новом базисе {e_i′} (и кобазисе {e′ⁱ}) производится с помощью матрицы перехода A = (A_i^j), однозначно определяемой равенствами

ei′ = Aijej

(это система m² линейных уравнений относительно A_i^j). Как легко видеть, векторы нового кобазиса определяются формулами

ei′ = Bjie j,

где B = A^–1.

Кроме скалярного произведения, в R³ имеется еще одна, известная из курса аналитической геометрии, важная бинарная операция — векторное произведение.