Факультативно
Определим в R3
бинарную операцию × : R3 × R3 → R3, называемую векторным произведением. Говорят, что базисы {ei} и {ei′} имеют одинаковую ориентацию, если определитель матрицы перехода положителен: det A > 0. Для любого линейного отображения L в
R3 определим линейное отображение l: R3 × R3 ×
R3 → R3 равенством
l(L)〈x, y, z〉 = x(y·L〈 z〉 y·L*〈 z〉)
y(z·L〈x〉 z·L*〈 x〉) + z(x·L〈
y〉 x·L*〈y〉). |
Пусть, далее, {ei} произвольный базис, а L таково, что l(L)〈e1, e2, e3〉 ≠ 0. Определим отображение ×{ei}: R3 × R3 → R3 равенством |
x ×{ei} y =
l(x×y)〈e1, e2, e3〉·√ | |l(L)〈e1, e2, e3〉|2
|
|
Нетрудно показать, что для двух базисов
{ei} и {ei′}
если эти базисы имеют одинаковую ориентацию, и
если противоположную. И таким образом, отображение ×{ei} с точностью до знака не зависит от выбора базиса. Зафиксируем теперь произвольный базис и выберем L так, чтобы |
|l(L)〈e1, e2, e3〉|2 = [Vol(e1, e2, e3)]2, |
где Vol(e1, e2, e3) объем параллелепипеда, образованного векторами базиса. Соответствующее
им отображение ×{ei},
которое мы будем обозначать × и есть, по определению, векторное произведение. Можно показать, что |
x·(x × y) = y·(x × y) = 0, | (4) |
т. е. вектор x × y ортогонален x и y,
|x·(y × z)| = Vol(x, y, z), | (5) |
и, кроме того,
e1·(e2 × e3) = Vol(e1, e2, e3). | (6) |
Свойства (4) (6) определяют векторное произведение однозначно и могут служить аксиоматическим определением скалярного произведения.
В произвольном ортонормированном базисе {ei} векторное произведение x × y можно представить в виде A(x)〈y〉, где матрица A задается равенством