Глава 0. Математические отступления | § 0.2. Линейные отображения |
![]() | 0.2.3. Матрица линейного отображения | ![]() |
Диадой
(a⊗b)〈x〉 = a(b·x). |
Для любого базиса {ei} в
Rm набор линейных отображений |
Lji = ei·L〈ej〉 (i, j = 1, ..., m). |
Но тогда
Lji(ei⊗ej)〈x〉 = (Ljiei)(ej·x) = (Ljiei)x j = (ei·L〈ej〉)eix j = = (ei·L〈x jej〉)ei = (ei·L〈 x〉)ei = L〈x〉. |
Единственность разложения L = Lji(ei⊗e j) проверяется тривиально.
Наличие базиса из m2 элементов означает, что L(Rm) является линейным m2-мерным пространством.
Соответствие L → {Lji} устанавливает изоморфизм между пространством
Очевидно,
L〈x〉 = Lji(ei⊗e j)〈x〉 = Ljiei(e j·x) = Ljix jei. |
Матрица суперпозиции K°L также легко вычисляется: |
(K°L)ji = ei·(K°L)〈ej〉 = ei·K〈L〈ej〉〉 = ei·K〈Llk(ek⊗el)〈ej〉〉 = = ei·K〈Llk〈ek(el·ej)〉〉 = ei·K〈Llkekδjl〉 = = Ljkei·K〈ek〉 = Ljkei·Ksp(ep⊗es)〈ek〉 = = Ljkei·(Kspepδks) = Ljkei·Kkpep = KkpLjkδji = KkiLjk. |