![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
0.2.4. След матрицы и линейного отображения | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
На пространстве Mm определен линейный функционал tr (от английского trace (след); его также иногда
обозначают Sp от немецкого Spur (след)), равный сумме диагональных элементов матрицы:
tr {Lji} ≝ Lii = ei·L〈ei〉. |
Этот функционал порождает функционал на L(Rm):
Вышеприведенное определение зависит от базиса. На самом деле оказывается, след матрицы (и, соответственно, линейного отображения) не зависит от выбора базиса. Чтобы доказать это утверждение, заметим, во-первых, что для любых a, b ∈ Rm
tr 〈a⊗b〉 = tr 〈aiei⊗bjej〉 = aibjtr 〈ei⊗ej〉 = aibjδji = aibi = a·b. | (10) |
Во-вторых, линейный функционал на L(Rm), обладающий свойством (10), обязательно есть
след: если Φ: L(Rm) → R таков, что Φ(a⊗b) = a·b, то
Φ〈L〉 = Φ〈Ljiei⊗ej〉 =
Ljiei·ej = Ljiδij = Lii. |
Остается заметить, что свойство (10) не зависит от выбора базиса.