0.2.4. След матрицы и линейного отображения

На пространстве M^m определен линейный функционал tr (от английского trace (след); его также иногда обозначают Sp от немецкого Spur (след)), равный сумме диагональных элементов матрицы:

tr {Lji} ≝ Lii = ei·L⟨ei⟩.

Этот функционал порождает функционал на L(R^m):

tr ⟨L⟩ = tr {Lji}.

Вышеприведенное определение зависит от базиса. На самом деле оказывается, след матрицы (и, соответственно, линейного отображения) не зависит от выбора базиса. Чтобы доказать это утверждение, заметим, во-первых, что для любых a, b ∈ R^m

tr ⟨a⊗b⟩ = tr ⟨aiei⊗bjej⟩ = aibjtr ⟨ei⊗ej⟩ = aibjδji = aibi = a·b.

(10)

Во-вторых, линейный функционал на L(R^m), обладающий свойством (10), обязательно есть след: если Φ: L(R^m) → R таков, что Φ(a⊗b) = a·b, то

Φ⟨L⟩ = Φ⟨Ljiei⊗ej⟩ = Ljiei·ej = Ljiδij = Lii.

Остается заметить, что свойство (10) не зависит от выбора базиса.