0.2.7. Свертка отображений

Пространство L(R^m) превращается в евклидово, если ввести в нем специальным образом скалярное произведение. Это скалярное произведение отображений K и L из L(R^m) называется верткой, обозначается K:L и вводится следующим образом:

K:L ≝ tr⟨K*·L⟩.

Для того, чтобы показать, что свертка действительно является скалярным произведением, найдем "коэффициентное" представление свертки. Если {e_i} — произвольный базис, то

K:L = tr⟨K*·L⟩ = (K*·L) ii= (K*) ijLij.

После этого симметричность доказывается легко:

K:L = (K*) ijLij= Kij(L*) ij= L:K.

Далее,

L:L = (L*) ijLij=  m ∑ i, j = 1 (Lji)2 ≥ 0,

и, более того, L:L = 0 в том и только том случае, когда L = 0. Линейность же свертки по обоим аргументам есть тривиальное следствие линейности следа.