0.2.6. Сопряженные, самосопряженные, антисимметричные и ортогональные отображения

Пусть L ∈ L(R^m). Отображение K ∈ L(R^m) называется сопряженным к отображению L, если при всех x, y ∈ R^m

x·K⟨y⟩ = y·L⟨x⟩.

Сопряженное к L отображение обозначается L*.

Нетрудно показать, что если определить матрицу K_jⁱ как матрицу транспонированную к матрице L_jⁱ: K_jⁱ = L_i^j, то соответствующее отображение K = K_jⁱ e_i⊗e^j будет сопряженным к L. Это доказывает существование сопряженного к любому отображению из L(R^m). Чуть позже будет это утверждение будет доказано из общих соображений.

Отображение L ∈ L(R^m) называется самосопряженным или симметричным, если L* = L. В терминах матриц это определение выглядит так: L_jⁱ = L_i^j.

Далее, отображение L ∈ L(R^m) называется антисимметричным, если L* = –L. В терминах матриц это определение выглядит так: L_jⁱ = –L_i^j.

Наконец, отображение L ∈ L(R^m) называется ортогональным, если оно обратимо и обратное отображение совпадает с сопряженным: L^–1 = L*, или, что то же L*·L = L·L* = I; здесь и ниже · обозначает суперпозицию отображений, а I — тождественное отображение на R^m: I⟨x⟩ ≡ x.