2.1.10. "Спуск" в пространство F(ωh)

Второй способ в некотором смысле обратен к первому. Пусть для каждого h определено некоторое отображение L_h из F(Ω) в F(ω_h). Расстоянием ||u – u_h|| между u и u_h назовем число ||L_hu – u_h||_h.

Это определение также сильно зависит от выбора отображений L_h. Так же, как и в предыдущем случае, эти отображения можно выбирать по-разному. Наиболее распространенный способ заключается в "проектировании" (сужении на сетку ω_h) F(Ω) на F(ω_h): отображения L_h определяются равенствами

Lhu = u|ωh,

т. е. при всех x ∈ ω_h

(Lhu)(x) = u(x).

См. рис. 1.8, на котором функция u изображена жирной линией, а функция L_hu — светлыми точками.

Рис. 1.8.

Если пространство F(Ω) не является пространством непрерывных функций (что не редкость в математическом моделировании механики сплошной среды), то в качестве операторов Lh часто берут "операцию усредненного значения функции в точке". Например, если Ω — отрезок [a, b], то Lhu можно определить как (Shu)|ωh, где Sh — т. н. усреднение по Стеклову:

(Shu)(x) =  1 2h ∫ x+h x–h ~ u (y) dy;

здесь

~ u (y)=  { u(a), если y < a, u(y), если a ≤y ≤ b, u(b), если y > b.

В случае, например, трехмерного Ω интеграл ∫x–hx+hu(y)dyзаменяется на объемный интеграл ∫∫∫Bh(x)u(ω) dω по шару Bh(x) радиуса h с центром в x, а 2h — на меру (объем) этого шара.