2.1.8. Аппроксимация функций непрерывного аргумента сеточными функциями

Допустим, теперь у нас есть последовательность сеток ω_h (мы будем пока считать, что h — вещественный параметр, и не различать терминологически последовательность и направленное множество, говоря все время только о последовательности). Пусть сеточные функции u_h ∈ F(ω_h), а u ∈ F(Ω). Для того, чтобы можно было произнести фразу "данная последовательность сеточных функций u_h аппроксимирует функцию u", нужно научиться измерять расстояние между u_h и u. Воспользоваться введеннымы выше нормами в F(ω) и F(Ω) нельзя, поскольку u_h и u лежат в разных пространствах. Нужно "перенести" рассмотрения в одно пространство. Здесь имеется два распространенных подхода. Первый связан с "подъемом" последовательности u_h из пространства сеточных функций F(ω_h) в пространство функций непрерывного аргумента F(Ω), а второй — со "спуском" функции u из пространства F(Ω) в пространство сеточных функций F(ω_h). Они более подробно описываются в следующих пунктах. Подчеркнем, что мы хотим определить расстояние между u и u_h, которое мы будем обозначать через ||u – u_h||.

Обозначим нормы в пространствах F(ω_h) и F(Ω) через || · ||_h и || · ||₀, соответственно.