2.1.12. Теорема о том, что спуск = подъем–1

Пусть Ω = [a, b], ω_h — равномерная сетка с шагом h на Ω, а u — непрерывная на Ω функция. Пусть, далее, L_h — отображение сужения на сетку, а R_h — отображение кусочно-линейной интерполяции. Тогда ||u – R_h(L_hu)||_C = O(h), т. е.

lim h→0 ||u – Rh(Lhu)||C = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Теорема очевидным образом следует из теоремы Кантора о равномерной непрерывности непрерывной на компакте функции.