2.1.7. Нормы в пространстве функций непрерывного аргумента

В пространстве F(Ω) можно измерять расстояние (т. е. ввести норму) между функциями разными способами. Наиболее распространенные способы таковы.

C-норма:

||u||C = ||u||C(Ω) =  sup x∈Ω |u(x)|,

C¹-норма:

||u||C1 = ||u||C1(Ω) =  sup x∈Ω |u(x)| +  sup x∈Ω |∇u(x)|,

L₂-норма:

||u||L2 = ||u||L2(Ω) =  ( ∫∫∫ Ω |u(x)|2 dω ) 1/2 ,

W12-норма:

||u||W12= ||u||W12(Ω)= ||u||C + ||∇u||L2.

Здесь мы не останавливаемся на деталях этих определений расстояний, в частности, совсем не затрагиваем важный вопрос о полноте пространства функций в этих нормах, т. е. следующий вопрос: из каких функций должно состоять пространство F(Ω), чтобы в нем выполнялся критерий Коши? Последнее означает эквивалентность для любой последовательности {u_n} ⊂ F(Ω) следующих двух высказываний:

∀ (ε > 0) ∃ (N ∈ N) ∀ (n, m > N) [||un – um|| < ε]

и

∃ (u ∈ F(Ω)) ∀ (ε > 0) ∃ (N ∈ N) [||un – u|| < ε].

Все эти вопросы будут подробно рассматриваться в курсе функционального анализа.