0.4.7. Оператор Лапласа

Суперпозиция операций дифференцирования и дивергенции носит специальное название оператора Лапласа. Более подробно, пусть f — скалярное или векторное поле. Тогда div (∂f/∂x) называется значением оператора Лапласа Δ на поле f и обозначается Δf. Более подробно в "коэффициентной" записи, если f — скалярное поле, то

Δf = div (grad f) = div (∇f) =

= div ( ∂f ∂x1 , ...,  ∂f ∂xk )  =  m ∑ i = 1 ∂2f (∂xi)2 .

В самом деле,

∂ ∂x ∂f ∂x  =  ∂ ∂x ∇f(x) =  ∂ ( ∂f ∂x1 , ...,  ∂f ∂xm ) ∂x  =

=  ⌈ | | | | | | | | | | | ⌊ ∂2f ∂x12 ∂2f ∂x1∂x2 ··· ∂2f ∂x1∂xm ∂2f ∂x2∂x1 ∂2f ∂x22 ··· ∂2f ∂x2∂xm : : ··· : ∂2f ∂xm∂x1 ∂2f ∂xm∂x2 ··· ∂2f ∂xm2 ⌉ | | | | | | | | | | | ⌋ ,

и, следовательно,

div ( ∂f ∂x )  = tr ⟨ ∂ ∂x ∂f ∂x ⟩  =  m ∑ i = 1 ∂2f (∂xi)2 .

Аналогично, хотя и более громоздко, показывается, что если f — векторное поле, то

Δf = (Δf 1, ..., Δf m) =  ( m ∑ i = 1 ∂2f 1 (∂xi)2 , ...,  m ∑ i = 1 ∂2f m (∂xi)2 ) .

Здесь же заметим, что если f — векторное поле, то

div ( ∂f * ∂x )  = ∇(div f) = grad (div f),

(14)

а если, кроме того, F — тензорное поле, то

div P⟨ f ⟩ = f ·div F +  1 2 P : [ ∂f ∂x  +  ( ∂f * ∂x ) ] .

(15)