Введение в математическое моделирование

2.2.4. Аппроксимация второй производной

Пусть по-прежнему u: [a, b] → R — достаточно гладкая функция, h — положительное число, а L² — оператор второй производной: L² = d²/dx², или (L²u)(x) = d²u/dx². Таким образом, L² = (L¹)² = L¹°L¹.

Как известно, число

u(x + h) – 2u(x) + u(x – h)
h²

может выступать в роли приближения для u′(x). Поэтому мы можем определить оператор L²_h°на пространстве F(ω_h) формулой (u ∈ F(ω_h))

(L²_h°u)(x_i) =

u(x_i+1) – 2u(x_i) + u(x_i–1)
h² ,

который, можно надеяться, будет аппроксимировать дифференциальный оператор L². Мы пока опять опускаем детали, связанные с некорректностью определения L²_h°uв граничных точках x₀ и x_n. Центральная разность второго порядка (L²_h°u)(x_i)очевидно выражается через центральные разности первого порядка:

(L²_h°u)(x_i)=
u(x_i+1) – u(x_i)
h – u(x_i) – u(x_{i – 1})
h
h

=

= u_x–(x_i+1)– u_x–(x_i)
h = (u_x–)_x+= u_x–x+

(символ u_x–x+есть просто сокращенное обозначение для (u_x–)_x+).Это тождество является, в некотором смысле, разностным аналогом равенства L² = (L¹)², поскольку оно означает, что для любой сеточной функции u ∈ F(ω_h)

L²_h°u= L¹_h+(L¹_h–u),

т. е. L²_h°= L¹_h+°L¹_h–.Ср. с обозначением u_xx для d²u/dx² и ∂²u/∂x².

Разложением в ряд Тейлора доказывается