2.2.5. Теорема о порядке аппроксимации второй производной

Если функция  u  четырежды непрерывно дифференцируема, то

||L2h°Lhu– LhL2u||° = O(h2).

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Утверждение теоремы следует из тривиально проверяемого неравенства (используется разложение по формуле Тейлора u(x_i+1) и u(x_i–1) в точке x_i до членов четвертого порядка)

||L2h°Lhu– LhL2u||° ≤  h2 12 M4,

(1)

где M₄ = sup_{a≤x ≤b}|u^IV(x)|.