2.4.2. Сходимость разностных схем

Напомним, что нашей основной целью является нахождение приближенного решения краевой задачи (1). Будем говорить, что решение разностной схемы (2) сходится, если

||u – uh|| → 0 при h → 0,

(3)

где u — решение краевой задачи (1) (напомним, что в соответствии с общими договоренностями ||u – u_h|| есть, по определению, ||L_hu – u_h||). Сама разностная схема называется в этом случае сходящейся.

Полезность соотношения (3) на практике относительна, поскольку оно не дает ответа на вопрос: насколько малым нужно взять h, чтобы разность ||u – u_h|| между точным и приближенным решением не превосходила заранее заданной точности ε? Если удается доказать, что при достаточно малых h

||u – uh|| ≤ Chk,

(4)

где C — не зависящая от h константа, то говорят, что схема (2) сходится с порядком k (или является схемой k-го порядка (сходимости)). Оценка (4), если в ней известна (для конкретной задачи (1)) константа C, позволяет по заранее выбранной точности ε a priori выбрать h так, чтобы приближенное решение u_h аппроксимировало решение u исходной (дифференциальной) краевой задачи (1) с точностью ε:

||u – uh||≤ ε;

достаточно взять h ≤ (ε/C)^1/k.