2.4.3. Аппроксимация разностной схемы

Интуитивно ясно, что если разностную схему мы возьмем "с потолка", т. е. никак не связанной с исходной дифференциальной задачей, то ожидать ее сходимости не приходится. Разностная схема, разумеется, должна быть связана с той краевой задачей, которую она предназначена приближенно решать. Те разностные схемы, которые мы строили выше, "аппроксимировали" исходную краевую задачу в том смысле, что выполнялись соотношения

||LhLhu – LhLu||° = O(hk),   ||(lhLhu – Lhlu)|γh|| = O(hk)

с некоторым k. Их можно объединить, записав

||LhLhu – LhLu|| = O(hk).

Последнее соотношение и выражает связь исходной краевой задачи и разностной схемы. Точнее, говорят, что разностная схема (2) обладает k-м порядком аппроксимации (синонимы: является схемой k-го порядка аппроксимации, аппроксимирует с k-м порядком), если для любой достаточно гладкой функции u выполнено соотношение

||LhLhu – LhLu|| ≤ Cahk

(5)

с некоторой не зависящей от h константой C_a. Пояснения требуют слова "для любой достаточно гладкой функции". Обычно они означают, что условие (5) должно выполняться для функций, обладающих теми же свойствами гладкости, что и решение дифференциальной задачи.