![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
2.4.3. Аппроксимация разностной схемы | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Интуитивно ясно, что если разностную схему мы возьмем "с потолка", т. е. никак не связанной с исходной дифференциальной задачей, то ожидать ее
сходимости не приходится. Разностная схема, разумеется, должна быть связана с той краевой задачей, которую она предназначена приближенно решать. Те разностные схемы, которые мы строили выше, "аппроксимировали" исходную краевую задачу в том смысле, что выполнялись соотношения
с некоторым k. Их можно объединить, записав
||LhLhu LhLu|| = O(hk). |
Последнее соотношение и выражает связь исходной краевой задачи и разностной схемы. Точнее, говорят, что разностная схема (2) обладает k-м порядком аппроксимации
(синонимы: является схемой k-го порядка аппроксимации,
аппроксимирует с k-м порядком), если для любой достаточно гладкой функции u выполнено соотношение
||LhLhu LhLu|| ≤ Cahk | (5) |
с некоторой не зависящей от h константой Ca. Пояснения требуют слова "для любой достаточно гладкой функции". Обычно они означают, что условие (5) должно выполняться для функций, обладающих теми же свойствами гладкости, что и решение дифференциальной задачи.