2.4.1. Разностные схемы

В предыдущем параграфе мы на примерах показали, каким образом дифференциальную краевую задачу

Lu = F

(1)

можно свести к "разностной" краевой задаче

Lhuh = Fh.

(2)

Занумеруем точки сетки ωh: ωh = {xi}ni=1. Уравнение (2) представляет собой систему алгебраических уравнений относительно неизвестных (uh)i = uh(xi) и называется разностной схемой.

Для первой краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка разностная схема в "индексной форме" выглядит так:

{ (uh)i+1 – 2(uh)i + (uh)i – 1 h2  – k(uh)i = (fh)i,   0 < i < n, (uh)0 = a, (uh)n = b.

Она (разностная схема) является системой из n + 1 уравнения для n + 1 неизвестного.

Разностная же схема для задачи Неймана для уравнения Пуассона есть система из (n + 1)(m + 1) уравнений для (n + 1)(m + 1) неизвестных (u_h)_ij = u_h(x_ij) вида

⌈ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ⌊ (uh)(i+1)j – 2(uh)ij +(uh)(i – 1)j h12  +          + (uh)i(j+1) – 2(uh)ij +(uh)i(j – 1) h22  =           = (fh)ij, 0 < i <n, 0 < j < m, (uh)i2 – 4(uh)i1 + 3(uh)i0 2h2  = (gh)i0,   0 ≤ i ≤ n, (uh)i(m–2) – 4(uh)i(m–1) + 3(uh)im 2h2  = (gh)im,   0≤ i ≤n, (uh)2j – 4(uh)1j + 3(uh)0j 2h1  = (gh)0j,   0 < j < m, (uh)(n–2)j – 4(uh)(n–1)j + 3(uh)nj 2h1  = (gh)nj,   0 < j < m.