2.4.4. Аппроксимация схемы на решении

Часто, взамен условия аппроксимации схемы (которое в зарубежной литературе, как правило, называется согласованностью схемы) требуют выполнения формально менее жесткого условия аппроксимации на решении. Точнее, говорят, что разностная схема (2) обладает k-м порядком аппроксимации на решении, если для любого решения u (дифференциальной) краевой задачи (1) выполнено соотношение

||LhLhu – Fh|| ≤ Cahk.

(6)

Другими словами, аппроксимация схемы на решении означает, что решение u дифференциальной краевой задачи "удовлетворяет" разностной схеме с точностью O(h^k). Слово "удовлетворяет" взято в кавычки, поскольку, разумеется, решение дифференциальной задачи нельзя напрямую подставлять в разностную схему — взамен нужно подставить u_h = L_hu.

Как легко видеть, если схема обладает k-м порядком аппроксимации (согласованности), то она обладает k-м порядком аппроксимации на решении. В самом деле, если u — решение (1), то есть Lu = F, то

||LhLhu – Fh|| = ||LhLhu – LhF|| = = ||LhLhu – LhLu|| ≤ Cahk.

Обратное, вообще говоря, неверно. Но, как правило, схемы, аппроксимирующие на решении, но не согласованные, настолько экстравагантны, что никогда не встречаются в вычислительной практике.

Следующий вопрос, который возникает при исследовании разностных схем естественен: если схема (2) аппроксимирует краевую задачу (1), то является ли она сходящейся? Отрицательный ответ на этот вопрос приводится в следующем пункте.