Глава II. Дискретные модели | § 2.4. Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем |
![]() | 2.4.4. Аппроксимация схемы на решении | ![]() |
Часто, взамен условия аппроксимации схемы (которое в зарубежной литературе, как правило, называется согласованностью схемы) требуют выполнения формально менее жесткого условия аппроксимации на решении. Точнее, говорят, что разностная схема (2) обладает k-м порядком аппроксимации на решении, если для любого решения u (дифференциальной) краевой задачи (1) выполнено соотношение
||LhLhu Fh|| ≤ Cahk. | (6) |
Другими словами, аппроксимация схемы на решении означает, что решение u дифференциальной краевой задачи "удовлетворяет" разностной схеме с точностью
Как легко видеть, если схема обладает k-м порядком аппроксимации (согласованности), то она обладает k-м порядком аппроксимации на решении. В самом деле, если
||LhLhu Fh|| = ||LhLhu LhF|| = = ||LhLhu LhLu|| ≤ Cahk. |
Обратное, вообще говоря, неверно. Но, как правило, схемы, аппроксимирующие на решении, но не согласованные, настолько экстравагантны, что никогда не встречаются в вычислительной практике.
Следующий вопрос, который возникает при исследовании разностных
схем естественен: если схема (2)
аппроксимирует краевую задачу (1), то
является ли она сходящейся? Отрицательный ответ на этот вопрос приводится
в следующем пункте.