![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
2.4.5. Пример аппроксимирующей несходящейся схемы | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Рассмотрим разностную схему
{ | ui +3ui1 2ui2 h | = 2(i 1)h, 2 ≤ i ≤ n, |
| u0 = 0, | u1 = h2 |
|
| (7) |
в применении к задаче Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения
u′ = 2x, x ∈ [0, X], u(0) = 0. |
Очевидно решением этой задачи Коши является функция u(x) = x2.
Тривиально показывается, что схема (7) является схемой первого порядка аппроксимации. Кроме того, непосредственной подстановкой проверяется, что соответствующее сеточное решение задается формулой
(uh)i = (2i +
i2 i 1)h2 при i ≥ 2. |
Заметим теперь, что при достаточно малых h
||u uh|| = | max 0≤i≤n | |u(xi) (uh)i| = |
|
= | max 2≤i≤n | |
|[i2 2i i2 + i + 1]h2| =
|
|
= | max 2≤i≤n | |2i i 1|h2 = (2n n 1)h2 =
|
|
= | ( | 2X/h
| X h | 1 | ) |
h2 → ∞ при h → 0.
|
|
Таким образом, схема (7) хотя и является аппроксимирующей, не является сходящейся.
Итак, наличие аппроксимации разностной схемы не гарантирует ее сходимость. Хотя, в некотором смысле, условие аппроксимации является необходимым для сходимости свойством, оно не является достаточным.
Оказывается, важным условием сходимости (тоже в некотором смысле почти необходимым) разностной схемы является описываемое в следующем пункте условие устойчивости.