2.4.5. Пример аппроксимирующей несходящейся схемы

Рассмотрим разностную схему

{ –ui +3ui–1 – 2ui–2 h  = 2(i – 1)h,   2 ≤ i ≤ n, u0 = 0, u1 = h2

(7)

в применении к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

u′ = 2x,   x ∈ [0, X],   u(0) = 0.

Очевидно решением этой задачи Коши является функция u(x) = x².

Тривиально показывается, что схема (7) является схемой первого порядка аппроксимации. Кроме того, непосредственной подстановкой проверяется, что соответствующее сеточное решение задается формулой

(uh)i = (2i + i2 – i – 1)h2 при i ≥ 2.

Заметим теперь, что при достаточно малых h

||u – uh|| =  max 0≤i≤n |u(xi) – (uh)i| =

=  max 2≤i≤n |[i2 – 2i – i2 + i + 1]h2| =

=  max 2≤i≤n |2i – i – 1|h2 = (2n – n – 1)h2 =

=  ( 2X/h –  X h  – 1 ) h2 → ∞ при h → 0.

Таким образом, схема (7) хотя и является аппроксимирующей, не является сходящейся.

Итак, наличие аппроксимации разностной схемы не гарантирует ее сходимость. Хотя, в некотором смысле, условие аппроксимации является необходимым для сходимости свойством, оно не является достаточным.

Оказывается, важным условием сходимости (тоже в некотором смысле почти необходимым) разностной схемы является описываемое в следующем пункте условие устойчивости.