0.2.5. Инварианты матриц и линейных отображений

Функции на пространстве M^m, не зависящие от выбора базиса называются инвариантами матрицы. Независимость инвариантов матрицы от выбора базиса позволяет говорить об инвариантах линейного отображения. Один из важных инвариантов — это след матрицы tr. Нам потребуется еще два других инварианта для отображений из L(R³)

J2 = J2(L) ≝  1 2 (tr2⟨L⟩ – tr⟨L2⟩)

и

J3 = J3(L) ≝  1 6 (tr3⟨L⟩ – 3tr⟨L⟩tr⟨L2⟩ + 2tr⟨L3⟩).

Для унификации обозначений след tr⟨L⟩ отображения L мы будем обозначать через J₁ = J₁(L).

Как мы уже знаем J₁ = L_iⁱ. Остальные инварианты также выражаются через коэффициенты матрицы фомулами

J2 =  | L11 L21 L12 L22 |  +  | L11 L31 L13 L33 |  +  | L22 L32 L23 L33 | ,

J3 = det⟨Lji⟩.

Характеристический полином p(λ) отображения L выражется через инварианты:

p(λ) = det(L – λI) = λ3 – J1λ2 + J2λ – J3.

И, наоборот, инварианты отображения L выражаются через собственные значения L (т. е. корни характеристического полинома) λ₁, λ₂, λ₃:

J1 = λ1 + λ2 + λ3, J2 = λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1, J3 = λ1λ2λ3.