![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
0.2.5. Инварианты матриц и линейных отображений | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Функции на пространстве Mm, не зависящие от выбора базиса
называются инвариантами матрицы. Независимость инвариантов матрицы от выбора базиса позволяет говорить об инвариантах линейного отображения. Один из важных инвариантов это след матрицы tr. Нам потребуется еще два других инварианта для отображений из L(R3)
J2 = J2(L) ≝
| 1 2 | (tr2〈L〉 tr〈L2〉)
|
|
и
J3 = J3(L) ≝
| 1 6 |
(tr3〈L〉 3tr〈L〉tr〈L2〉 +
2tr〈L3〉).
|
|
Для унификации обозначений след tr〈L〉 отображения L мы будем обозначать через J1 = J1(L).
Как мы уже знаем J1 = Lii. Остальные инварианты также выражаются через коэффициенты матрицы фомулами
Характеристический полином p(λ) отображения L выражется через инварианты:
p(λ) = det(L λI) = λ3 J1λ2 + J2λ J3. |
И, наоборот, инварианты отображения L выражаются через собственные значения L (т. е. корни характеристического полинома) λ1, λ2, λ3:
J1 = λ1 + λ2 + λ3,
J2 = λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1,
J3 = λ1λ2λ3. |