 |
0.4.3. Производные по направлению и частные производные. Матрица Якоби |  |
Пусть y ∈ Rk и |y| = 1. Предел
lim s→+0 | | f(x + sy) f(x) s | = | d ds | f(x + sy) | | |
s=0 |
|
называется производной по направлению y поля f в точке x и обозначается ∂f(x)〈y〉/∂x или fy′(x). Если зафиксировать в Rk и E базисы {pi} и {qi} и разложить f по базису {qi}: f(x) = f j(x)qj, то производные функций f j(x) по направлениям базисных векторов ei называются частными производными функции f. Если x = xipi, то частная производная ∂f j(x)〈 pi〉/∂x обозначается обычно ∂f j(x)/∂xi.
Линейному отображению ∂f/∂x соответствует некоторая матрица (за которой мы сохраним то же обозначение ∂f/∂x). Эта матрица называется матрицей Якоби. Элементами этой матрицы являются частные производные функции f:
( | ∂f ∂x | ) | j
i | = | df j(x + spi) ds | | |
s=0 | = | ∂f j ∂xi | = (f j)′x〈pi〉. |
|
Из курса математического анализа известно, что поле f непрерывно дифференцируемо в том и только том случае, если частные производные (∂f/∂x)jiсуществуют и непрерывны. |
Если E = R, то матрица Якоби градиента поля f (это матрица размерности m × 1) имеет вид
∇f = | ( | ∂f ∂x1 | , ..., | ∂f ∂xk | ) | . |
|