0.4.3. Производные по направлению и частные производные. Матрица Якоби

Пусть y ∈ R^k и |y| = 1. Предел

lim s→+0 f(x + sy) – f(x) s  =  d ds f(x + sy) | s=0

называется производной по направлению y поля f в точке x и обозначается ∂f(x)⟨y⟩/∂x или f_y′(x). Если зафиксировать в R^k и E базисы {p_i} и {q_i} и разложить f по базису {q_i}: f(x) = f ^j(x)q_j, то производные функций f ^j(x) по направлениям базисных векторов e_i называются частными производными функции f. Если x = xⁱp_i, то частная производная ∂f ^j(x)⟨ p_i⟩/∂x обозначается обычно ∂f ^j(x)/∂xⁱ.

Линейному отображению ∂f/∂x соответствует некоторая матрица (за которой мы сохраним то же обозначение ∂f/∂x). Эта матрица называется матрицей Якоби. Элементами этой матрицы являются частные производные функции f:

( ∂f ∂x ) j i  =  df j(x + spi) ds | s=0  =  ∂f j ∂xi  = (f j)′x⟨pi⟩.

Из курса математического анализа известно, что поле f непрерывно дифференцируемо в том и только том случае, если частные производные (∂f/∂x)jiсуществуют и непрерывны.

Если E = R, то матрица Якоби градиента поля f (это матрица размерности m × 1) имеет вид

∇f =  ( ∂f ∂x1 , ...,  ∂f ∂xk ) .