 |
0.4.5. Дивергенция тензорного поля |  |
Если E = L(Rm), или, с точностью до изоморфизма, E = T2(Rm), и
k = m, то дивергенция тензорного
поля f: U → E определяется формулой (здесь {ei} произвольный базис в Rm)
div f(x) ≝
|
∂f(x)〈ei〉 ∂x | 〈ei〉.
|
| (12) |
Дивергенция div f(x) при каждом x ∈ U является, очевидно, вектором из Rm. Определение (12) не зависит от выбора базиса. Действительно, для любого вектора y ∈ Rm дивергенция векторной функции
f *(x)〈y〉 вычисляется следующим образом
div (f *(x)〈y〉) = | ∂(f *(x)〈y〉)i ∂xi | = |
|
= | d ds | (ei · f *(x + sei)〈y〉)|s=0 =
| | |
|
= | lim s→0 | | ei · [f *(x + sei) f *(x)]〈y〉 s | = |
|
= | lim s→0 | | y·[f(x + sei) f(x)]〈ei〉 s | = |
|
= y· | d ds | (f(x + sei)〈ei〉)|s = 0 = y· | ( |
∂f(x)〈ei〉 ∂x | ) | 〈ei〉.
|
|
Поскольку левая часть цепочки не зависит от выбора базиса, правая часть также не зависит от его выбора. Таким образом, при
всех y ∈ Rm
div (f *(x)〈y〉) = y· | ∂f(x)〈ei〉 ∂x |
〈ei〉.
|
| (13) |
Равенство (13) может принято в качестве определения (с "пробным" вектором y) дивергенции тензорного поля: div f(x) это такой вектор z ∈ Rm, что div (f *(x)〈y〉) = y·z при любом y ∈ Rm.