0.4.5. Дивергенция тензорного поля

Если E = L(R^m), или, с точностью до изоморфизма, E = T²(R^m), и k = m, то дивергенция тензорного поля f: U → E определяется формулой (здесь {e_i} — произвольный базис в R^m)

div f(x) ≝  ∂f(x)⟨ei⟩ ∂x ⟨ei⟩.

(12)

Дивергенция div f(x) при каждом x ∈ U является, очевидно, вектором из R^m. Определение (12) не зависит от выбора базиса. Действительно, для любого вектора y ∈ R^m дивергенция векторной функции f *(x)⟨y⟩ вычисляется следующим образом

div (f *(x)⟨y⟩) =  ∂(f *(x)⟨y⟩)i ∂xi  =

=  d ds (ei · f *(x + sei)⟨y⟩)|s=0 =

=  lim s→0 ei · [f *(x + sei) – f *(x)]⟨y⟩ s  =

=  lim s→0 y·[f(x + sei) – f(x)]⟨ei⟩ s  =

= y· d ds (f(x + sei)⟨ei⟩)|s = 0 = y· ( ∂f(x)⟨ei⟩ ∂x ) ⟨ei⟩.

Поскольку левая часть цепочки не зависит от выбора базиса, правая часть также не зависит от его выбора. Таким образом, при всех y ∈ R^m

div (f *(x)⟨y⟩) = y· ∂f(x)⟨ei⟩ ∂x ⟨ei⟩.

(13)

Равенство (13) может принято в качестве определения (с "пробным" вектором y) дивергенции тензорного поля: div f(x) это такой вектор z ∈ R^m, что div (f *(x)⟨y⟩) = y·z при любом y ∈ R^m.