1.4.7. Принцип пространственной локализации

В формуле (4) взамен η, ζ ∈ Ω₀ можно писать η, ζ ∈ V_ξ, где V_ξ — некоторая окрестность точки ξ в Ω₀.

Этот принцип означает, что тензор напряжений в данной частице определяется лишь поведением среды в некоторой окрестности этой частицы. Если предположить аналитичность всех параметров среды, то принцип пространственной локализации можно переформулировать так. Тензор напряжений в данной частице зависит от предыстории параметров P и их производных в данной частице:

P[γ(ξ, t), t] = F ( ξ, t, ∪ k∈N ( ∂k ∂ξk γ(ξ,·) | [0, t] ,  ∂k ∂ξk P[γ(ξ,·),·] | [0, t] ) ) .

Сплошная среда, для которой в правой части последнего равенства фигурируют только производные нулевого (т. е. сами функции) и первого порядков:

P[γ(ξ, t), t] = F ( ξ, t, γ(ξ,·)|[0, t], ∂ ∂ξ γ(ξ,·) | [0, t] ,

P[γ(ξ,·),·]|[0, t],  ∂ ∂ξ P[γ(ξ,·),·] | [0, t] ) ,

называется простой.

Наконец, если в правых частях приведенных выше уравнений взамен всех сужений функций f |_{[0, t]} на отрезок [0, t] фигурируют только сужения f |_{[t, t]} = f |_{t} = f(t) "на точку" t, то сплошная среда называется средой с бесконечно короткой памятью (синонимы: среда с нулевой памятью, среда без наследственности). Например, определяющие уравнения в простой среде с бесконечно короткой памятью должны выглядеть так:

P[γ(ξ, t), t] = F ( ξ,t, γ(ξ,t),  ∂ ∂ξ γ(ξ, t), P[γ(ξ, t), t],  ∂ ∂ξ P[γ(ξ,t), t] ) ,

или, короче,

P[γ(ξ, t), t] = F ( ξ,t, γ,  ∂γ ∂ξ , P[γ, t],  ∂P(γ, t) ∂ξ ) .

Описание последнего из формулируемых нами принципов — принципа независимости от системы отсчета — несколько сложнее. Оно требует дополнительных понятий.