 |
1.4.8. Системы отсчета |  |
Репером называется базис, состоящий из векторов единичной длины, исходящих из одной точки. Репер с часами называется системой отсчета. Пусть репер {ei}, помещенный в точку 0 с часами, показывающими время t, некоторая (неподвижная) система отсчета. Зададим непрерывную кривую t → 0(t) и семейство непрерывно зависящих от t ортогональных преобразований O(t) с положительным определителем. Поместим теперь в точку 0(t) репер {ei′} = {O(t)〈ei〉} и часы, показывающие время t′ = t + α. Они
образуют новую (подвижную) систему отсчета, которую мы будем
обозначать (0(t), O(t), α). Поскольку ортогональные преобразования сохраняют углы и расстояния, можно представлять себе, что второй репер есть движущийся как обсолютно твердое тело первый. Точка X, задаваемая в первой системе отсчета радиус-вектором x, во второй системе отсчета задается радиус-вектором x′ (см. рис. 4.2).

Рис. 4.2.
Найдем формулы перехода из одной системы отсчета в другую. Положим y = x 0(t). Тогда
y = yiei = yiO1(t)〈ei′ 〉 = yiO*(t)〈ei′ 〉 = yiαijej′, |
где (αij) матрица преобразования O*(t) в базисе
{ei′}. Разложение же y по второму базису дает y = x′jej′. Откуда x′j = αijy j. Таким образом,
x′ = O*(t)〈x 0(t)〉,
t′ = t + α. |
Очевидно, если z = y x вектор с началом в точке x и концом в y в первой системе отсчета, то во второй системе отсчета представление соответствующего вектора имеет вид
Если A линейное отображение векторов в первой системе отсчета, то во второй системе отсчета ему, как легко видеть
соответствует линейное проебразование
Скалярное s, векторное v и тензорное T поля на
D по
определению индифферентны (по отношению к изменению системы отсчета), если для любой подвижной системы отсчета (0(t), O(t), α)
v′(x′, t′) = O*(t)〈v(x, t)〉, |
T ′(x′,
t′) = O*(t)ºT(x, t)ºO(t). |