![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
1.2.7. Основная теорема механики сплошной среды | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Существует тензорное поле
P: D → T2(R3) такое, что при всех ((x, t), n) ∈ D × S
Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем произвольный ортонормированный базис {ei} в R3 и точку (x, t) ∈ D. Если мы покажем, что
для любого ν = νiei ∈ S
(мы опускаем аргументы (x, t) у функции pν(x, t)), то на S искомый тензор P можно определить равенством (и опять (x, t) опускается)
а после этого продолжить P с S на все R3 по линейности:
Докажем (8). Для этого мы используем интегральный закон сохранения импульса, переписанный в виде (6). Покажем сначала, что для любого ν ∈ S
Пусть Σ плоскость, проходящая через точку x ∈ Ωt с нормалью ν, y ∈ Σ ∩ Ωt, B = B(y, ε) шар в R3 с центром в y радиуса ε, целиком лежащий в Ωt, B1, B2 части этого шара, на которые он разбивается плоскостью Σ (B2 и ν лежат по одну сторону от Σ), β = ∂B1∩∂B2 = B∩Σ (см. рис. 2.1).
![Рис. 2.1.](../matmodel/images/1-2-1.gif)
Рис. 2.1.
Запишем (6) для объемов B1, B2, B, сложим первые два из получившихся тождеств и вычтем третье:
( | ∫∫ ∂B1 | + | ∫∫ ∂B2 | | ∫∫ ∂B3 | ) | pn dω = |
|
( | ∫∫∫ B1 | + | ∫∫∫ B2 | | ∫∫∫ B3 | ) | ρ | ( | dν dt | f | ) | dω = 0. |
|
В левой части этого равенства интегралы по границе шара B
взаимно уничтожаются, а в оставшихся интегралах по β: в первом интеграле, очевидно, pn = pν, а во втором pn = pν. Таким образом,
∫∫ β | [pν(y, t) + pν(y, t)] dσ = 0. |
|
Поскольку β произвольный круг, целиком лежащий в Ωt ∩ Σ, а функция pν(y, t) + pν(y, t) непрерывна, из леммы 1.2.3 следует (9).
Теперь докажем (8). Пусть ν = νiei таков, что все νi отличны от нуля и, более того, положительны. Обозначим через Δε тетраэдр, высекаемый из координатного угла (с началом в точке x) плоскостью, проходящей через конец вектора x + εν ортогонально ν, а также координатными плоскостями базиса, начало которого помещено в точку x (см. рис. 2.2).
![Рис. 2.2.](../matmodel/images/1-2-2.gif)
Рис. 2.2.
Пусть σε грань тетраэдра, перпендикулярная ν, а σεi грани, перпендикулярные векторам ei, соответственно. При достаточно малых ε этот тетраэдр целиком лежит в Ωt. Применяя формулу (6) на Δε, получаем
( | ∫∫ σε | + | 3 ∑ i = 1
| | ∫∫ σε1 | ) | pn dσ = | ∫∫∫ Δε | ρ | ( | dν dt | f | ) | dω, |
|
или, учитывая, что n = ν на σε и n = ei на σεi,
∫∫ σε | pν dσ + | 3 ∑ i = 1
| ∫∫ σεi | peidσ = | ∫∫∫ Δε | ρ |
( | dν dt | f | ) | dω. |
| (10) |
Как легко видеть,
mes σε = ε2·mes σ1,
mes σεi = ε2·mes σ1i,
mes Δε = ε3·mes Δ1, | (11) |
где mes σ мера Лебега множества σ (в первых двух случаях плоская, т. е. площадь, а в последнем объемная). Применим к (10) теорему о среднем значении:
pν(θε, t)·mes σε + | 3 ∑ i = 1
| pei(θεi, t)·mes σεi = |
|
= | [ | ρ | ( | dν dt | f | ) | ] | (Φε, t)·mes Δε |
|
где θε
∈ σε, θεi ∈ σεi, а Φε ∈ Δε. Подставим (11) в последнее равенство, разделим на ε2 и перейдем к
пределу при ε → 0, учитывая, что pν(θε,
t) → pν(x, t), а pei(θεi, t) = pei(x, t) при ε → 0 (поскольку θε, θεi, Φε → x при ε → 0. Получим |
(mes σ1)pν + | 3 ∑ i = 1
| (mes σ1i)pei = 0, |
|
или, учитывая (9),
(mes σ1)pν | 3 ∑ i = 1
| (mes σ1i)pei = 0, |
|
Остается заметить, что mes σ1i = mes σ1cos(ν, ei) = mes σ1(ν·ei) = mes σ1νi, и (8) в
случае νi > 0 доказано.
Остальные случаи, когда νi
≠ 0 разбираются аналогично. Наконец, в случае, когда один или два коэффициента νi обращаются в нуль, равенство (8) следует из уже доказанного и непрерывности p.
Тензор P, существование которого утверждается в теореме, играет фундаментальную роль в механике сплошной среды и
называется тензором напряжений. Саму теорему иногда называют теоремой Коши о существовании тензора
напряжений. Существование этого тензора позволяет преобразовать поверхностный интеграл в законе сохранения
импульса и момента импульса в объемный.