1.5.2. Однородность уравнения состояния

Жидкость однородна, т. е. функция F в уравнении состояния не зависит явно от x и t.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  В самом деле, в силу принципа независимости от системы отсчета

P′ = F(D′, P′, x′, t′),

или, что то же,

O*(t)ºPºO(t) = F[O*(t)ºDºO(t), P, O*(t)⟨x⟩, t + α].

В силу теоремы об индифферентности основных тензоров последнее равенство переписывается в виде

P = F(D, P, O*(t)⟨x⟩, t + α).

Таким образом, для любого ортогонального преобразования O и любого числа α имеет место тождество

F(D, P, O*⟨x⟩, t + α) ≡ F(D, P, x, t).

(2)

Поэтому (если взять O = I) для любых t₁ и t₂

F(D, P, x, t1) ≡ F(D, P, x, t2),

что означает независимость F от t. Если же для любых x₁, x₂ ∈ R³ в (2) взять в качестве O ортогональное преобразования, переводящее x₁ в x₂, а в качестве α — нуль, то

F(D, P, x2, t) ≡ F(D, P, x1, t),

что означает независимость F от x.

Однородность означает, что физические законы, которым подчиняется жидкость, неизменны во времени и пространстве. Два последних аргумента у функции F теперь опускаются: F(D, P, x, t) = F(D, P).

Сейчас мы сформулируем основные аксиомы, которым должно удовлетворять уравнение состояния в нашей модели жидкости.