 |
1.4.10. Теорема об индифферентности основных тензоров |  |
Тензоры деформации Эйлера E, напряжений P и скоростей деформации D индифферентны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку ξ′ = O*(0)〈ξ〉 и x = O(t)x′,
⊥′ = | ∂ξ′ ∂x′ | = | ∂ξ′ ∂ξ | ∂ξ ∂x | ∂x ∂x′ | = O*(0)º⊥ºO(t). |
|
Но тогда
2E′ =I ⊥′*º⊥′ =
O*(t)ºO(t) [O*(0)º⊥ºO(t)]*º[O*(0)º⊥ºO(t)] =
= O*(t)ºO(t) [O*(t)º⊥*ºO(0)]º[O*(0)º⊥ºO(t)] =
= O*(t)º[I ⊥*ºO(0)ºO*(0)º⊥ºO(t) =
O*(t)º(I ⊥*º⊥)O(t) =2O*(t)ºEºO(t) |
и индифферентность E доказана.
Далее, поскольку pn = P〈n〉, p′n′= P′〈n′〉, n′ = O*(t)〈n〉, p′n′= O*(t)〈pn〉,
P′〈n′〉 = p′n′=
O*(t)〈pn〉e = [O*(t)ºP]〈n〉 = [O*(t)ºPºO(t)]〈n′〉, |
что означает индифферентность P.
Наконец, докажем индифферентность D. В силу выведенных выше формул перехода в новую систему отсчета движение γ(ξ, t) частицы ξ в системе отсчета (0(t), O(t), α) задается функцией
γ′(ξ′, t′) = O*(t)〈γ(ξ, t) 0(t)〉, |
где ξ′ = O*(0)〈ξ〉. Дифференцирование последнего равенства по t′ (напомним, что t′ = t + α и, следовательно, d/dt′ = d/dt) дает следующее
представление скорости v′(x′, t′) в новой системе отсчета:
v′(x′, t′) = | γ′(ξ′, t ′) dt ′ | = | dO*(t) dt | 〈γ(ξ, t) 0(t)〉 + |
| + O*(t) | 〈 | dγ(ξ, t) dt | | d0(t) dt | 〉 | = |
| = | dO*(t) dt | 〈x 0(t)〉 + O*(t) | 〈 | v(x, t) | d0(t) dt | 〉 | . |
|
| (5) |
Но тогда
∂v′ ∂x′ | = | dO*(t) dt | º | ∂x ∂x′ | + O*(t)º | ∂v ∂x | º | ∂x ∂x′ | = |
| = | dO*(t) dt | ºO(t) +O*(t)º | ∂v ∂x | O(t), |
| |
а поэтому
( | ∂v′ ∂x′ | ) | *
| = O*(t)º | dO(t) dt | + O*(t)º | ( | ∂v ∂x | ) | *
| ºO(t). |
|
Остается заметить, что поскольку O*(t)ºO(t) = I,
O(t)º | dO*(t) dt | + | dO(t) dt | ºO*(t) = 0 |
|
(здесь 0 в правой части обозначает нулевой оператор). Складывая полученные выражения для ∂v′/∂x′ и
(∂v′/∂x′)*, имеем
O*(t)º | dO(t) dt | + O*(t)º | ( | ∂v ∂x | ) | *
| ºO(t) + |
|
+ | dO*(t) dt | ºO(t) +O*(t)º | ∂v ∂x | ºO(t) = |
|
O*(t)º | [ | ( | ∂v ∂x | ) | *
| + | ∂v ∂x | ] | ºO(t) =O*(t)ºDºO(t). |
|
Заметим, что из равенства (5) следует неиндифференнтность вектора скорости; он "неиндифферентен на величину (dO*(t)/dt)〈 x 0(t)〉 O*(t) 〈d0(t)/dt〉."