1.4.10. Теорема об индифферентности основных тензоров

Тензоры деформации Эйлера E, напряжений P и скоростей деформации D индифферентны.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Поскольку ξ′ = O*(0)⟨ξ⟩ и x = O(t)x′,

⊥′ =  ∂ξ′ ∂x′  =  ∂ξ′ ∂ξ ∂ξ ∂x ∂x ∂x′  = O*(0)º⊥ºO(t).

Но тогда

2E′ =I – ⊥′*º⊥′ = O*(t)ºO(t) – [O*(0)º⊥ºO(t)]*º[O*(0)º⊥ºO(t)] = = O*(t)ºO(t) – [O*(t)º⊥*ºO(0)]º[O*(0)º⊥ºO(t)] = = O*(t)º[I – ⊥*ºO(0)ºO*(0)º⊥ºO(t) = O*(t)º(I – ⊥*º⊥)O(t) =2O*(t)ºEºO(t)

и индифферентность E доказана.

Далее, поскольку p_n = P⟨n⟩, p′_n′= P′⟨n′⟩, n′ = O*(t)⟨n⟩, p′_n′= O*(t)⟨p_n⟩,

P′⟨n′⟩ = p′n′= O*(t)⟨pn⟩e = [O*(t)ºP]⟨n⟩ = [O*(t)ºPºO(t)]⟨n′⟩,

что означает индифферентность P.

Наконец, докажем индифферентность D. В силу выведенных выше формул перехода в новую систему отсчета движение γ(ξ, t) частицы ξ в системе отсчета (0(t), O(t), α) задается функцией

γ′(ξ′, t′) = O*(t)⟨γ(ξ, t) – 0(t)⟩,

где ξ′ = O*(0)⟨ξ⟩. Дифференцирование последнего равенства по t′ (напомним, что t′ = t + α и, следовательно, d/dt′ = d/dt) дает следующее представление скорости v′(x′, t′) в новой системе отсчета:

v′(x′, t′) =  γ′(ξ′, t ′) dt ′  =  dO*(t) dt ⟨γ(ξ, t) – 0(t)⟩ + + O*(t) ⟨ dγ(ξ, t) dt  –  d0(t) dt ⟩  = =  dO*(t) dt ⟨x – 0(t)⟩ + O*(t) ⟨ v(x, t) –  d0(t) dt ⟩ .

(5)

Но тогда

∂v′ ∂x′  =  dO*(t) dt º ∂x ∂x′  + O*(t)º ∂v ∂x º ∂x ∂x′  = =  dO*(t) dt ºO(t) +O*(t)º ∂v ∂x O(t),

а поэтому

( ∂v′ ∂x′ ) * = O*(t)º dO(t) dt  + O*(t)º ( ∂v ∂x ) * ºO(t).

Остается заметить, что поскольку O*(t)ºO(t) = I,

O(t)º dO*(t) dt  +  dO(t) dt ºO*(t) = 0

(здесь 0 в правой части обозначает нулевой оператор). Складывая полученные выражения для ∂v′/∂x′ и (∂v′/∂x′)*, имеем

D′ =  ( ∂v′ ∂x′ ) * +  ∂v′ ∂x′  =

O*(t)º dO(t) dt  + O*(t)º ( ∂v ∂x ) * ºO(t) +

+  dO*(t) dt ºO(t) +O*(t)º ∂v ∂x ºO(t) =

O*(t)º [ ( ∂v ∂x ) * +  ∂v ∂x ] ºO(t) =O*(t)ºDºO(t).

Заметим, что из равенства (5) следует неиндифференнтность вектора скорости; он "неиндифферентен на величину (dO*(t)/dt)⟨ x – 0(t)⟩ – O*(t) ⟨d0(t)/dt⟩."