1.2.5. Перестановка дифференцирования и интегрирования

В этом пункте мы покажем, что

d dt ∫∫∫ ωt F(x, t) dω =  ∫∫∫ ωt ( dF dt  + Fdiv v ) dω

(3)

для любой функции F.

Формула (3) является многомерным аналогом формулы дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом.

В самом деле, сделаем в интеграле, стоящем в левой части равенства (3), замену переменных x = γ(ξ, t). Эта замена переводит область ω_t в область ω₀, и, таким образом, область интегрирования перестает зависеть от времени t:

d dt ∫∫∫ ωt F(x, t) dω =  d dt ∫∫∫ ω0 FL(ξ, t)J L(ξ, t) dω,

где J — якобиан замены x → ξ: J(ξ, t) = det(∂x/∂ξ). Поскольку теперь область интегрирования не зависит от t, дифференцирование можно внести под знак интеграла. Последующее дифференцирование подынтегрального выражения с использованием формулы Эйлера dJ/dt = J·div v или, что то же, ∂F^L/∂t = J ^Ldiv v^L, дает следующую цепочку равенств:

d dt ∫∫∫ ωt FLJ L dω =  ∫∫∫ ω0 ∂ ∂t (FLJ L)dω =

=  ∫∫∫ ω0 ( ∂FL ∂t J L + FL ∂J L ∂t ) dω =

=  ∫∫∫ ω0 ( ∂FL ∂t J L + FLJ Ldiv vL ) dω =

=  ∫∫∫ ω0 ( ∂FL ∂t  + FLdiv vL ) J L dω.

Обратная замена переменных ξ → x доказывает равенство (3):

∫∫∫ ω0 ( ∂FL ∂t  + FLdiv vL ) J L dω =  ∫∫∫ ωt ( dF dt  + Fdiv v ) dω.