![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
1.2.5. Перестановка дифференцирования и интегрирования | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
В этом пункте мы покажем, что
d dt | ∫∫∫ ωt | F(x, t) dω = | ∫∫∫ ωt | ( | dF dt | + Fdiv v | ) | dω |
|
(3) |
для любой функции F.
Формула (3) является многомерным аналогом
формулы дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом.
В самом деле, сделаем в интеграле, стоящем в левой части равенства (3), замену переменных x = γ(ξ, t). Эта замена переводит область ωt в область ω0, и, таким образом, область
интегрирования перестает зависеть от времени t:
d dt | ∫∫∫ ωt | F(x, t) dω = | d dt | ∫∫∫ ω0 | FL(ξ, t)J L(ξ, t) dω,
|
|
где J якобиан замены x → ξ: J(ξ, t) = det(∂x/∂ξ). Поскольку теперь область интегрирования не зависит от t, дифференцирование можно внести под знак интеграла. Последующее дифференцирование подынтегрального выражения с использованием формулы Эйлера dJ/dt = J·div v или, что то же,
∂FL/∂t = J Ldiv vL, дает следующую цепочку равенств:
d dt | ∫∫∫ ωt | FLJ L dω =
| ∫∫∫ ω0 | | ∂ ∂t | (FLJ L)dω = |
|
= | ∫∫∫ ω0 | |
( | ∂FL ∂t | J L + FL | ∂J L ∂t | ) | dω = |
|
= | ∫∫∫ ω0 | |
( | ∂FL ∂t | J L + FLJ Ldiv
vL | ) |
dω = |
|
= | ∫∫∫ ω0 | |
( | ∂FL ∂t | + FLdiv vL | ) | J L dω. |
|
Обратная замена переменных ξ → x доказывает равенство (3):
∫∫∫ ω0 | ( | ∂FL ∂t | + FLdiv vL |
) | J L dω = | ∫∫∫ ωt | ( | dF dt | + Fdiv v | ) | dω. |
|