Глава I. Непрерывные модели | § 1.4. Определяющие уравнения |
![]() | 1.4.17. Теорема о представлении изотропных тензорных функций | ![]() |
Пусть S3 пространство симметричных
φ(T) = φ0TI+ φ1TT + φ2TT 2, |
где φiT = φi(J1, J2, J3) (i = 0, 1, 2), а Ji = Ji(T) (i = 1,2,3) инварианты матрицы T. |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть S = φ(T). В силу симметричности T существует ортогональная матрица O1, приводящая T к диагональной матрице
DS = O1*ºφ(T)ºO1= φ(O1*ºTºO1)= φ(DT). |
Обозначим |
O2*ºDTºO2= O3*ºDTºO3= DT |
(применение матриц O2, O2*и O3, O3*к диагональным матрицам, очевидно, только изменяет знаки соответствующих коэффициентов на диагонали). Далее, учитывая изотропность φ, |
O2*ºDSºO2= O2*ºφ(T)ºO2= φ(O2*ºTºO2)= φ(DT) = DS, | (7) |
и аналогично,
O3*ºDSºO3= DS | (8) |
Непосредственный подсчет показывает, что (мы используем обозначение sji коэффициентов матрицы DS)
|
а
|
Из этих равенств и из (7) и (8) следует равенство всех внедиагональных элементов матрицы DS нулю. Таким образом
Запишем теперь равенство
ηi = Φi(λ1, λ2, λ3). |
Обозначим через O4 матрицу
|
Из изотропности φ
вытекает равенство |
diag (η2, η1, η3) = φ[diag (λ2, λ1, λ3)], | (9) |
откуда, в частности, следует равенство
η3 = Φ3(λ1, λ2, λ3) = Φ3(λ2, λ1, λ3). |
В силу леммы 1.4.17 найдется функция Ψ3 такая, что
Φ3(λ1, λ2, λ3) = Ψ3(λ1 + λ2, λ1λ2, λ3). | (10) |
Учитывая, что инварианты J1 = J1(T),
J1 = λ1 + λ2 + λ3, J2 = λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1, J3 = λ1λ2λ3, | (11) |
равенство (10) можно продолжить следующим образом
Φ3(λ1, λ2, λ3) = Ψ3(J1 λ3, J2 λ3(J1 λ3), λ3) ≝ ψ3(J1, J2, λ3). | (12) |
Точно так же доказывается существование функций ψi
Φi(λ1, λ2, λ3) = ψi(J1, J2, λi). | (13) |
Теперь заметим, что из равенства (9) следуют равенства
ψ2(J1, J2, λ2) = ψ1(J1, J2, λ2), | (14) |
ψ2(J1, J2, λ1) = ψ1(J1, J2, λ1). | (15) |
Докажем утверждение теоремы сначала в случае, когда все собственные значения матрицы T различны. Определим числа
φ0T + φ1Tλi+ φ2Tλi2= Φi (= Φi(λ1, λ2, λ3) = ηi), i = 0, 1, 2). | (16) |
Как известно, ее решение φ0T (например) задается формулой (в силу различности собственных значений λi определитель этой
| (17) |
Очевидно,
F0(Φ1, Φ2, Φ3, λ1, λ2, λ3) = F0(Φ2, Φ1, Φ3, λ2, λ1, λ3). |
Далее, подставляя (12) и (13) в (17), получаем
F0(Φ1, Φ2, Φ3, λ1, λ2, λ3) = = F0[Φ1(λ1, λ2, λ3), Φ2(λ1, λ2, λ3), Φ3(λ1, λ2, λ3), λ1, λ2, λ3] = = F0[ψ1(J1,J2, λ1), ψ2(J1,J2, λ2), ψ3(J1,J2, λ3), λ1, λ2, λ3] ≝ ≝ G0(λ1, λ2, λ3) |
Теперь заметим, что в силу (14) и (15)
G0(λ1, λ2, λ3) = G0(λ2, λ1, λ3). |
Аналогично показывается перестановочность остальных аргументов, и, таким образом, функция G0 симметрична. Теми же самыми рассуждениями устанавливается существование и симметричность остальных решений
Осталось вернуться от диагональных матриц к исходным. Система (16) в матричном виде выглядит так:
diag (η1, η2, η3) = = φ0TI+ φ1T diag (λ1, λ2, λ3) + φ2T [diag (λ1, λ2, λ3)]2, |
или
DS = φ0TI+ φ1TDT+ φ2TDT2. |
Умножив слева на матрицу O1, а справа на O1*, получим
φ(T) = S = φ0TI+ φ1TT+ φ2 TT2, |
и теорема в случае различных собственных значений матрицы T доказана.
В случае, если λ1 = λ2 ≠ λ3, вместо системы (16) достаточно рассмотреть систему из двух уравнений
φ0T + φ1Tλi= Φi (i = 1, 3) |
и аналогичными рассуждениями получить существование функций φ0, φ1 таких, что φ(T) = S = φ0TI+ φ1TT
(φ2 в этом случае равна нулю).
Наконец, в случае, когда все собственные числа матрицы T одинаковы (матрица пропорциональна тождественной), утверждение теоремы тривиально:
F(T) = φ0TI. |
(φ2 и φ2 равны нулю).