2.2.7. Теорема о порядке аппроксимации оператора Лапласа

Если функция  u  четырежды непрерывно дифференцируема, то

||Lh1°h2°Lhu – LhLu||° = O(h12+ h22).

(3)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Эта теорема — простое следствие теоремы 2.2.5. В самом деле, пусть L_h = L_h1h2 — оператор сужения на сетку ω_h1h2. В силу упомянутой теоремы (см. оценку (1)) для операторов L^2(x1) и L^2(x2) выполнены оценки

||Lh1°2(x1)Lhu–LhL2(x1)u||° ≤  h12 12 sup (x1,x2)∈Ω | ∂ IVu(x1,x2) ∂xIV1 | ,

||Lh2°2(x2)Lhu–LhL2(x2)u||° ≤  h22 12 sup (x1,x2)∈Ω | ∂ IVu(x1,x2) ∂xIV2 | ,

которые и влекут эквивалентную (3) оценку

||Lh1°h2°Lhu – LhLu||° ≤  ( h12 12  +  h22 12 ) M4,

где

M4 =  { sup (x1,x2)∈Ω | ∂ IVu(x1,x2) ∂xIV1 | ,  sup (x1,x2)∈Ω | ∂ IVu(x1,x2) ∂xIV2 | } .