![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
2.2.8. Аппроксимация параболического дифференциального оператора
∂/∂t ∂2/∂x2 | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Пусть теперь Ω = (0, X) × (0, T), u: Ω → R достаточно гладкая функция (u = u(x, t)), F(Ω) состоит из достаточно
гладких функций, а L параболический
дифференциальный оператор на F(Ω): Lu = ∂u/∂t ∂2u/∂x2.
Пусть, далее, ωhτ прямоугольная равномерная сетка на Ω с шагами h и τ по x и t соответственно. Как и выше, будем сохранять обозначение xij для точек (ih, jτ) (i = 0, ...,
n, j = 0, ..., m) сетки.
Как и в п. 2.2.6, оператор L предстáвим в виде разности операторов L1 =
∂/∂t и L2
= ∂2/∂x2. Если мы теперь аппроксимируем оператор L1 одним из операторов L1τ+,L1τили L1τ°,а оператор L2 оператором L2h°,то получим следующие три аппроксимации оператора L: |
Lh°τ+u= L1τ+u L2h°u= ut+ uxx+, | (4) |
Lh°τu= L1τu L2h°u= ut uxx+, | (5) |
и
Lh°τ°u= L1τ°u L2h°u= ut° uxx+, | (6) |
Соответствующие им шаблоны изображены на рис. 2.2а, 2.2б и 2.2в.
![Рис. 2.2.](../matmodel/images/2-2-2.gif)
Рис. 2.2.
Так же, как и в теореме 2.2.3, без труда доказывается, что для достаточно гладких функций u
а