2.2.8. Аппроксимация параболического дифференциального оператора ∂/∂t – ∂2/∂x2

Пусть теперь Ω = (0, X) × (0, T), u: Ω → R — достаточно гладкая функция (u = u(x, t)), F(Ω) состоит из достаточно гладких функций, а L — параболический дифференциальный оператор на F(Ω): Lu = ∂u/∂t – ∂²u/∂x².

Пусть, далее, ω_hτ — прямоугольная равномерная сетка на Ω с шагами h и τ по x и t соответственно. Как и выше, будем сохранять обозначение x_ij для точек (ih, jτ) (i = 0, ..., n, j = 0, ..., m) сетки.

Как и в п. 2.2.6, оператор L предстáвим в виде разности операторов L1 = ∂/∂t и L2 = ∂2/∂x2. Если мы теперь аппроксимируем оператор L1 одним из операторов L1τ+,L1τ–или L1τ°,а оператор L2 — оператором L2h°,то получим следующие три аппроксимации оператора L:

Lh°τ+u= L1τ+u– L2h°u= ut+– ux–x+,

(4)

Lh°τ–u= L1τ–u– L2h°u= ut–– ux–x+,

(5)

и

Lh°τ°u= L1τ°u– L2h°u= ut°– ux–x+,

(6)

Соответствующие им шаблоны изображены на рис. 2.2а, 2.2б и 2.2в.

Рис. 2.2.

Так же, как и в теореме 2.2.3, без труда доказывается, что для достаточно гладких функций u

||Lh°τ+Lhu– LhLu||° = O(h2 + τ),

||Lh°τ–Lhu– LhLu||° = O(h2 + τ),

а

||Lh°τ°Lhu– LhLu||° = O(h2 + τ2).