![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
2.3.3. Задача Неймана для уравнения Пуассона | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Рассмотрим в квадрате Ω = [0, X1] × [0, X2] указанную в названии пункта задачу Неймана для
уравнения Пуассона
Δu = f(x), x = (x1, x2) ∈ Ω, | (6) |
В "операторном" виде она очевидно запишется в виде (3) (4), (или, еще короче в виде (5)), если положить Lu = Δu, а lu = ∂u/∂n|Γ. Аппроксимируем оператор Лапласа центральными разностями:
здесь и ниже мы используем сокращенное обозначение h = (h1, h2), поэтому, в частности, Lh° = Lh1°h2°. |
Займемся теперь аппроксимацией краевых условий. На нижней стороне квадрата Ω (мы считаем, для определенности, что ось Ox1 горизонтальна, а Ox2 вертикальна) это условие, очевидно, имеет вид
∂u(x1,x2) ∂(x2) | | |
x2 = 0 | = | ∂u(x1,x2) ∂x2 | | |
x2 = 0 | = g(x1, 0) |
|
(напомним, что n это нормаль к Γ, направленная вне Ω). Для того, чтобы при аппроксимации производной, стоящей в этом краевом условии, использовались только точки, лежащие внутри Ω, можно воспользоваться, например, разностями вперед:
| ∂u(x1,x2) ∂x2 | | |
x2 = 0 | ≈ ux2+ = | u(x1, h2) u(x1, 0) h2 | . |
|
Теперь вспомним, что разности вперед аппроксимируют с
погрешностью O(h2), тогда как дифференциальный оператор у нас аппроксимирован с погрешностью O(h12+ h22). Интуитивно
ясно, что бóльшая погрешность в аппроксимации краевого условия должна привести к (по крайней мере) такой же погрешности в приближенном решении. (Эти априорные рассуждения позднее будут строго обоснованы в курсе "Методы вычислений".) Поэтому хотелось бы аппроксимировать краевое условие с тем же порядком погрешности. Здесь нельзя воспользоваться центральными разностями для аппроксимации первой производной в краевом условии, поскольку для их вычисления потребовались бы значения функции u в точках из CΩ, т. е. лежащих вне Ω (см. шаблон на рис. 3.1а). Поэтому воспользуемся следующей аппроксимацией первой производной произвольной функции φ |
φ′(x) ≈ | φ(x + 2h) + 4φ(x + h) 3φ(x) 2h |
|
(см. шаблон на рис. 3.1б). Разложением в ряд Тейлора нетрудно показывается, что
| | φ′(x) | φ(x + 2h) + 4φ(x + h) 3φ(x) 2h | | | ≤
M3h2.
|
|
![Рис. 3.1.](../matmodel/images/2-3-1.gif)
Рис. 3.1.
Поэтому на нижней стороне квадрата Ω краевое условие можно аппроксимировать, например, так
| u(xi2) + 4u(xi1) 3u(xi0) 2h | = g(xi0), 0 ≤ i ≤n. |
| (8) |
На верхней границе квадрата для аппроксимации производной ∂u/∂n = ∂u(x1, x2)/∂x2 по описанной схеме нужно взять разности, использующие значения в точках xi(m2), xi(m1) и xim:
u(xi(m2)) 4u(xi(m1)) 3u(xim) 2h | = g(xim), 0 ≤ i ≤n. |
| (9) |
Объединяя (8) и (9), также аналогичные краевые условия на правой и левой сторонах квадрата, запишем их в символической форме lhuh = gh. Таким образом, краевая задача Неймана для уравнения Пуассона аппроксимируется следующей системой уравнений
которую в символической форме опять можно записать в виде