2.3.2. Первая краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

Рассмотрим краевую задачу

u′′ – ku = f(x),   x ∈ Ω = [0,1],

(1)

u(0) = a,   u(1) = b.

(2)

Эту краевую задачу можно записать в "операторном" виде

Lu = f,

(3)

lu = g,

(4)

где L — дифференциальный оператор, определяемый равенством L = d²/dx² – kI, а l: F(Ω) → R² — оператор "граничных условий": lu = (u(0), u(1)), g = (a, b). Последняя краевая задача может быть записана в "объединенной" операторной форме

Lu = F,

(5)

где L = (L, l), а F = (f, g).

Допустим, мы аппроксимировали дифференциальный оператор L на равномерной сетке ωh = {ih}ni=0следующим образом:

Lhuh = (uh)x–x+– kuh,   (uh ∈ F(ωh))

или, что то же,

(Lhuh)(xi) =  uh(xi+1) – 2uh(xi) + uh(xi–1) h2  – kuh(xi).

Тогда уравнение (1) аппроксимируется, например, уравнением

Lhuh = Lh f ≝ fh.

Граничные же условия переносятся на сеточные функции в данном случае напрямую (l_h = l) и, таким образом, могут быть записаны в виде

lhuh = Lh g ≝ gh.

Таким образом, краевая задача (3) – (4) переписывается в виде

Lhuh = fh, lhuh = gh,

или, в "объединенной" форме,

Lhuh = Fh,

где L_h = (L_h, l_h), а F_h = (f_h, g_h).