![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
2.3.2. Первая краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Рассмотрим краевую задачу
u′′ ku = f(x), x ∈
Ω = [0,1], | (1) |
Эту краевую задачу можно записать в "операторном" виде
где L дифференциальный оператор, определяемый равенством L = d2/dx2 kI, а l: F(Ω)
→ R2 оператор "граничных условий": lu = (u(0), u(1)), g = (a, b).
Последняя краевая задача может быть записана в "объединенной" операторной форме
где L = (L, l), а F = (f, g).
Допустим, мы аппроксимировали дифференциальный оператор L на равномерной сетке ωh = {ih}ni=0следующим образом: |
Lhuh = (uh)xx+ kuh, (uh ∈ F(ωh)) |
или, что то же,
(Lhuh)(xi) = | uh(xi+1) 2uh(xi) + uh(xi1) h2 | kuh(xi). |
|
Тогда уравнение (1) аппроксимируется, например, уравнением
Граничные же условия переносятся на сеточные функции в данном случае напрямую (lh = l) и, таким
образом, могут быть записаны в виде
Таким образом, краевая задача (3) (4) переписывается в виде
или, в "объединенной" форме,
где Lh = (Lh, lh), а Fh = (fh, gh).