1.2.6. Уравнение неразрывности

Подстановка в (3) вместо F функции ρ приводит к тождеству

d dt ∫∫∫ ωt ρ(x, t) dω =  ∫∫∫ ωt ( dρ dt  + ρdiv v ) dω.

Поскольку левая часть этого тождества равна нулю в силу (интегрального) закона сохранения массы,

∫∫∫ ωt ( dρ dt  + ρdiv v ) dω = 0

для любого движущегося объема ωt. В частности, при любом фиксированном t, если в качестве ω0 взять прообраз при отображении γt произвольного шара B: ω0 = γt–1(B),то ωt = B при данном t. Отсюда следует, что при каждом t последнее тождество выполняется на любом шаре. Применение леммы 1.2.3 приводит к так называемому уравнению неразрывности:

dρ dt  + ρdiv v = 0,

(4)

являющемуся дифференциальным аналогом интегрального закона сохранения массы.

Если теперь в (3) вместо функции F подставить функцию ρF и предполагать выполненным уравнение неразрывности, то мы получим следующую формулу дифференцирования интегралов вида ∫∫∫ωt ρF dω:

d dt ∫∫∫ ωt ρF dω =  ∫∫∫ ωt ρ dF dt dω.

(5)

Точно так же, интегральный закон сохранения импульса с помощью формулы (5) легко переписывается в виде

∫∫ ∂ωt pn dσ =  ∫∫∫ ωt ρ ( dν dt  – f ) dω.

(6)

Теперь нам нужно научиться преобразовывать в интегральных законах сохранения поверхностные интегралы в объемные, чтобы затем, действуя по описанной схеме, получить дифференциальные формы остальных законов сохранения. Для этого сначала найдем представление вектора p_n напряжений внутренних поверхностных сил.