![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
1.2.6. Уравнение неразрывности | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Подстановка в (3) вместо F функции ρ приводит к тождеству
d dt | ∫∫∫ ωt | | ρ(x, t) dω = | ∫∫∫ ωt | ( |
dρ dt |
+ ρdiv v | ) | dω. |
|
Поскольку левая часть этого тождества равна нулю в силу (интегрального) закона сохранения массы,
∫∫∫ ωt | ( | dρ dt | + ρdiv v | ) | dω = 0 |
|
для любого движущегося объема ωt. В частности, при любом фиксированном t, если в качестве ω0 взять прообраз при отображении γt произвольного шара B: ω0 = γt1(B),то ωt = B при данном t. Отсюда следует, что при каждом t последнее тождество выполняется на любом шаре. Применение леммы 1.2.3 приводит к так называемому уравнению неразрывности: |
являющемуся дифференциальным аналогом интегрального закона сохранения массы.
Если теперь в (3) вместо функции F подставить функцию ρF и предполагать выполненным уравнение неразрывности, то мы получим следующую формулу дифференцирования интегралов вида ∫∫∫ωt ρF dω: |
d dt | ∫∫∫ ωt | ρF dω = | ∫∫∫ ωt | ρ | dF dt | dω. |
| (5) |
Точно так же, интегральный закон сохранения импульса с помощью формулы (5) легко переписывается в виде
∫∫ ∂ωt | pn dσ = | ∫∫∫ ωt | ρ | ( | dν dt | f | ) | dω. |
| (6) |
Теперь нам нужно научиться преобразовывать в интегральных законах сохранения поверхностные интегралы в объемные, чтобы затем, действуя по описанной схеме, получить дифференциальные формы остальных законов сохранения. Для этого сначала найдем представление вектора pn напряжений внутренних поверхностных сил.