2.3.1. Замечание об областях определения и значений операторов Lh

Как уже говорилось, описанные в предыдущем параграфе операторы, аппроксимирующие различные дифференциальные операторы, определены не совсем корректно. Например, сеточная функция Lh1°h2°u на F(ωh1h2), аппроксимирующая значения оператора Лапласа, не определена ни в одной граничной точке сетки ωh1h2, т. е. ни в одной точке множества γh1h2 = {xij: (i = 0) ∨ (i = n) ∨ (j = 0) ∨ (j = m)}. Точно так же, если Lh°τ+,Lh°τ–и Lh°τ°— операторы, аппроксимирующие оператор L = ∂/∂t – ∂2/∂x2, то функции Lh°τ+u,Lh°τ–uи Lh°τ°u,где u ∈ ωhτ, не определены в некоторых граничных точках сетки ωhτ. Первая из них не определена на боковых и верхней сторонах прямоугольника [0, X] × [0, T] (мы считаем, что ось t направлена вверх), точнее, в тех точках xij сетки, для которых (i = 0) ∨ (i = n) ∨ (j = m). Вторая — в точках, для которых (i = 0) ∨ (i = n) ∨ (j = 0), и, наконец, третья — в точках, для которых (i = 0) ∨ (i = n) ∨ (j = 0) ∨ (j = m).

Таким образом, операторы L_h (аппроксимирующие те или иные дифференциальные операторы), как правило, переводят сеточную функцию, заданную на ω_h, в сеточную функцию, заданную на некотором подмножестве ω_h: в некоторых (обычно граничных) точках функции L_hu не определены. Для того, чтобы доопределить эти функции в оставшихся точках, как правило, используются краевые условия соответствующих краевых задач, вернее, их аппроксимации. Как это делается, мы покажем на примерах.