Глава II. Дискретные модели | § 2.4. Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем |
![]() | 2.4.7. Теорема Лакса | ![]() |
Любая устойчивая разностная схема k-го порядка аппроксимации на решении является схемой k-го порядка сходимости.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим
||zh|| = ||Lh(Lhu) Fh|| ≤ Cahk | (10) |
и поэтому ||zh|| мала при малых h. Следовательно, в силу устойчивости,
||Lh1(Fh+ zh) Lh1(Fh)||≤ Cs||zh||. | (11) |
Остается заметить, что
Lh1(Fh+ zh) = Lh1(Fh+ LhLhu Fh) = Lh1LhLhu= Lhu, |
а
Lh1Fh= uh. |
Поэтому неравенство (11) с учетом (12) переписывается в виде
||u uh|| = ||Lhu uh|| ≤ Cs||zh|| ≤ CsCahk. |
Теорема доказана.
Эта теорема описывает наиболее распространенный способ доказательства сходимости разностных схем.