2.4.8. Замечания к понятию устойчивости разностных схем

Неравенства вида (9) часто называют априорными оценками (решений разностных схем). Эти оценки получают a priori (до опыта), до того, как решение найдено, и, более того, до того момента, как становится известно существуют ли эти решения вообще. Для получения таких оценок обычно нужна достаточно развитая математическая техника разностного дифференцирования и интегрирования, а также "разностные" аналоги математических методов исследования (дифференциальных) краевых задач. Описанию таких методов и приемов посвящен следующий параграф.

Еще одно замечание связано с областями определения и значений оператора разностной схемы Lh. Часто оказывается полезным рассматривать оператор Lh не как оператор, действующий в пространстве сеточных функций F(ωh), но как оператор, действующий из одного пространства сеточных функций F1(ω1h)в другое пространство сеточных функций F2(ω2h).Причем эти пространства могут отличаться не только своими нормами, но и узлами сетки (что показано обозначениями ω1hи ω2h).В этом случае понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости нужно соответствующим образом модифицировать. Доказательство теоремы Лакса также легко модифицируется.