1.2.8. Закон сохранения импульса

Имеет место следующее уравнение импульса:

ρ dv dt  = div P + ρf.

(12)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  В силу основной теоремы

∫∫ ∂σt pn(x)(x, t) dσ =  ∫∫ ∂σt P(x, t)⟨n(x)⟩ dσ,

или, в сокращенной записи,

∫∫ ∂σt pn dσ =  ∫∫ ∂σt P⟨n⟩ dσ,

В силу же теоремы Гаусса — Остроградского

∫∫ ∂σt P⟨n⟩ dσ =  ∫∫∫ ωt div P dω.

Поэтому интегральный закон сохранения импульса может быть переписан в виде (см. формулу (6))

∫∫∫ ωt [ ρ ( dv dt  – f )  – div P ] dω = 0.

Теперь уравнение импульса (12) следует из леммы 1.2.3.

Для вывода закона сохранения момента импульса введем для любого x ∈ R³ линейное (антисимметричное) отображение A(x) из R³ в R³, позволяющее представить векторное произведение x × a в виде A(x)⟨a⟩. Как известно, его можно задать следующей матрицей в произвольном ортонормированном базисе {e_i}:

A(x) =  (  0 –x3 x2 x3  0 –x1 –x2 x1  0 ) ,   где x = xiei.