1.3.10. Неравенство Клаузиуса — Дюгема

Второе начало термодинамики (2) в этих терминах может быть выражено по разному. Например, предполагается выполненным неравенство

d dt S(ωt) ≥ – ∫∫ ∂ωt q·n Θ dσ.

(5)

В самом деле, если считать объем ω_t теплоизолированным, т. е. предполагать, что q·n = 0 на ∂ω_t, то (d/dt)S(ω_t) ≥ 0, что полностью совпадает с "термостатическим" вторым началом термодинамики.

Если заменить в (5) S по формуле (4), а затем, как это неоднократно делалось выше, применить формулу дифференцирования под знаком интеграла и формулу Гаусса — Остроградского, то получим неравенство

∫∫∫ ωt ( ρ ds dt  + div q Θ ) dω ≥ 0.

Применение же аналога леммы 1.2.3 приводит к так называемому неравенству Клаузиуса — Дюгема, являющемуся локальным (не интегральным) эквивалентом второго начала термодинамики

ρ ds dt  + div q Θ ≥ 0.

(6)

Следующая аксиома позволяет выразить в уравнении сохранения энергии вектор потока тепла через абсолютную температуру.