0.3.3. Изоморфизм T2(Rm) ∼ L(Rm)

Универсальность тензора (11) в том, что, как оказывается, любой тензор второго ранга из T²(R^m) может быть представлен в таком виде. В самом деле, если зафиксировать второй аргумент x₂ в T, то отображение T₁: x₂ → T⟨x₁, x₂⟩ будет тензором первого ранга. В силу изометрии (9) R^m* ∼ R^m найдется вектор T⟨x₂⟩ = ℑ⟨T₁⟩ (для каждого x₂ ∈ R^m он свой) такой, что

T⟨x1, x2⟩ = x1·T⟨x2⟩

Линейность отображения x₂ → T⟨x₂⟩ очевидна.

Отображение ℑ: T → T из T²(R^m) в L(R^m) реализует изоморфизм T²(R^m) и L(R^m). Таким образом, тензоры второго ранга из T²(R^m) отождествляются с линейными отображениями из L(R^m). В силу этого можно говорить о норме тензора второго ранга, его инвариантах и  т. д. Более того, поскольку имеет место изоморфизм L(R^m) ∼ M^m, имеет место и изоморфизм T²(R^m) ∼ M^m. Поэтому можно говорить о матрице тензора и всех сопутствующих матрицам понятиях.

По существу, тензоры — это просто другая терминология для обозначения привычных и известных из линейной алгебры объектов — полилинейных функционалов. "Тензорная" терминология принята в механике сплошной среды. Она имеет некоторую специфику, которой мы в данном курсе не касаемся.

Кстати, наличие изоморфизма T²(R^m) ∼ L(R^m) позволяет доказать обещанное утверждение о существовании сопряженного отображения. Для произвольного L ∈ L(R^m) определим тензор T ∈ T²(R^m) равенством T⟨x₁, x₂⟩ = x₁·L⟨x₂⟩, затем определим тензор T* ∈ T²(R^m) равенством T*⟨x₁, x₂⟩ = T⟨x₂, x₁⟩ и, наконец, положим K = ℑ(T*). Утверждается, что K = L*. В самом деле,

x1·K⟨x2⟩ = T*⟨x1, x2⟩ = T⟨x2, x1⟩ = x2·L⟨x1⟩,

что совпадает с определением сопряженного оператора.