![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
0.3.3. Изоморфизм
T2(Rm)
∼
L(Rm) | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Универсальность тензора (11) в том, что, как оказывается, любой тензор второго ранга из T2(Rm) может быть представлен в таком виде. В самом деле, если зафиксировать второй аргумент x2 в T, то отображение T1: x2 → T〈x1, x2〉 будет тензором первого ранга. В силу изометрии (9) Rm* ∼ Rm найдется вектор T〈x2〉 = ℑ〈T1〉 (для каждого x2 ∈ Rm он свой) такой, что
Линейность отображения x2 → T〈x2〉 очевидна.
Отображение ℑ: T → T из T2(Rm) в L(Rm) реализует изоморфизм T2(Rm) и L(Rm). Таким образом, тензоры второго ранга из T2(Rm) отождествляются с линейными отображениями из L(Rm). В силу этого можно говорить о норме тензора второго ранга, его инвариантах и т. д. Более того, поскольку имеет место изоморфизм L(Rm) ∼ Mm, имеет место и изоморфизм T2(Rm) ∼ Mm. Поэтому можно говорить о матрице тензора и всех сопутствующих матрицам понятиях.
По существу, тензоры это просто другая терминология для обозначения привычных и известных из линейной алгебры объектов полилинейных функционалов. "Тензорная" терминология принята в механике сплошной среды. Она имеет некоторую специфику, которой мы в данном курсе не касаемся.
Кстати, наличие изоморфизма T2(Rm) ∼ L(Rm) позволяет доказать обещанное утверждение о существовании сопряженного отображения. Для произвольного L ∈ L(Rm) определим тензор T ∈ T2(Rm) равенством T〈x1, x2〉 = x1·L〈x2〉, затем определим тензор T* ∈ T2(Rm) равенством T*〈x1, x2〉 = T〈x2, x1〉 и, наконец, положим K = ℑ(T*). Утверждается, что K = L*. В самом деле,
x1·K〈x2〉 =
T*〈x1,
x2〉 =
T〈x2,
x1〉 =
x2·L〈x1〉, |
что совпадает с определением сопряженного оператора.