![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
1.2.10. Теорема о симметричности тензора напряжений | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Уравнение (14) выполнено в том и только том случае, когда тензор напряжений P симметичен: P = P*.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполнено уравнение (14), а {ei} произвольный ортонормальный базис. Используя определение дивергенции тензора, свойства дифференцирования композиции отображений и определение A, преобразуем
левую часть равенства (14):
= | d ds | (A(x + sei)ºP(x + sei, t)〈ei〉)
| | |
s = 0 | = |
|
= | ( | d ds | A(x + see) | | |
s = 0 | ) | 〈P(x, t)〈ei〉〉 +
|
|
+ A(x) | 〈 | ( | d ds | P(x + sei) | | |
s = 0 | ) | 〈ei〉
| 〉 | = |
|
= A(ei)〈P(x, t)〈ei〉〉 + A(x)〈div P(x, t)〉 =
= ei ×
P〈ei〉 + x × div P. |
Поэтому, в силу (14) ei × P〈ei〉 = 0. Последнее возможно только в случае симметричности тензора P. В самом деле,
0 = ei × P〈ei〉 = A(ei)〈P〈ei〉〉 = |
+ | ( | | ) | ( | | ) | = | ( | p23 p32 | p31 p13 | p12 p21 |
| ) |
= 0, |
|
что означает симметричность P.
Поскольку все преобразования и рассуждения в приведенном выше доказательстве обратимы, обратное заключение также верно.
Таким образом, уравнение (14) и условие симметричности тензора напряжений эквивалентны. Поэтому в результирующую систему уравнений, которую мы выводим, обычно вставляют не уравнение (14), а требование симметричности тензора напряжений.
Наконец, обратимся к закону сохранения энергии (последнему уравнению в модели (IM)). Рассуждения здесь в большой мере аналогичны. Следующая теорема вводит "энергетический аналог" тензора напряжений вектор потока тепла.