1.2.10. Теорема о симметричности тензора напряжений

Уравнение (14) выполнено в том и только том случае, когда тензор напряжений P симметичен: P = P*.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть выполнено уравнение (14), а {e_i} – произвольный ортонормальный базис. Используя определение дивергенции тензора, свойства дифференцирования композиции отображений и определение A, преобразуем левую часть равенства (14):

div (A(x)ºP(x, t)) =

=  d ds (A(x + sei)ºP(x + sei, t)⟨ei⟩) | s = 0 =

=  ( d ds A(x + see) | s = 0 ) ⟨P(x, t)⟨ei⟩⟩ +

+ A(x) ⟨ ( d ds P(x + sei) | s = 0 )  ⟨ei⟩ ⟩  =

= A(ei)⟨P(x, t)⟨ei⟩⟩ + A(x)⟨div P(x, t)⟩ = = ei × P⟨ei⟩ + x × div P.

Поэтому, в силу (14) e_i × P⟨eⁱ⟩ = 0. Последнее возможно только в случае симметричности тензора P. В самом деле,

0 = ei × P⟨ei⟩ = A(ei)⟨P⟨ei⟩⟩ =

=  ( 0 0 0 0 0 –1 0 1 0 ) ( p11 p12 p13 )  +  ( 0 0 1 0 0 0 –1 1 0 ) ( p21 p22 p23 )  +

+  ( 0 –1 0 1 0 0 0 0 0 ) ( p31 p32 p33 )  =  ( p23 – p32 p31 – p13 p12 – p21 )  = 0,

что означает симметричность P.

Поскольку все преобразования и рассуждения в приведенном выше доказательстве обратимы, обратное заключение также верно.

Таким образом, уравнение (14) и условие симметричности тензора напряжений эквивалентны. Поэтому в результирующую систему уравнений, которую мы выводим, обычно вставляют не уравнение (14), а требование симметричности тензора напряжений.

Наконец, обратимся к закону сохранения энергии (последнему уравнению в модели (IM)). Рассуждения здесь в большой мере аналогичны. Следующая теорема вводит "энергетический аналог" тензора напряжений — вектор потока тепла.