1.2.9. Закон сохранения момента импульса

Имеет место следующее уравнение момента импульса

ρ ( x ×  dv dt )   div (A(x)ºP) + ρ(x × f).

(13)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  В самом деле, преобразуем поверхностный интеграл в интегральном законе сохранения момента импульса в объемный:

∫∫ ∂ωt [x × pn(x)(x, t)] dσ =  ∫∫ ∂ωt [x × P(x, t)⟨n(x)⟩] dσ =

=  ∫∫ ∂ωt A(x)ºP⟨n(x)⟩ dσ =  ∫∫∫ ωt div [A(x)ºP] dω.

Поэтому его (закон сохранения момента импульса) можно, используя формулу (6), переписать в виде

∫∫∫ ωt ρ ( x ×  dv dt ) dσ –  ∫∫∫ ωt div [A(x) × P] dσ –

–  ∫∫∫ ωt ρ(x × f) dω = 0.

Применение леммы 1.2.3 к последнему равенству приводит к уравнению (13).

Если теперь, воспользовавшись уравнением импульса (12) подставить в (13) div P + ρf вместо ρ·dv/dt, то получится более простая форма уравнения момента импульса:

div (A(x)ºP) = x × div P.

(14)

Оказывается, уравнение (14) эквивалентно симметричности тензора напряжений.