 |
1.2.9. Закон сохранения момента импульса |  |
Имеет место следующее уравнение момента импульса
Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, преобразуем поверхностный интеграл в интегральном законе сохранения момента импульса в объемный:
∫∫ ∂ωt | [x × pn(x)(x, t)] dσ = | ∫∫ ∂ωt | [x × P(x, t)〈n(x)〉] dσ = |
|
= | ∫∫ ∂ωt | A(x)ºP〈n(x)〉 dσ = | ∫∫∫ ωt | div [A(x)ºP] dω. |
|
Поэтому его (закон сохранения момента импульса) можно, используя формулу (6), переписать в виде
∫∫∫ ωt | ρ | ( | x × |
dv dt | ) | dσ | ∫∫∫ ωt | div [A(x) × P] dσ |
|
Применение леммы 1.2.3 к последнему равенству приводит к уравнению (13).
Если теперь, воспользовавшись уравнением импульса (12) подставить в (13) div P + ρf вместо ρ·dv/dt, то получится более простая форма уравнения момента импульса:
div (A(x)ºP) = x × div P. | (14) |
Оказывается, уравнение (14) эквивалентно симметричности тензора напряжений.