1.5.8. Классическая модель жидкости

Аксиома линейности, вернее, ее следствие (8), позволяют вычислить в модели (F1) div P и P : D:

div P = –∇p + ∇(λdiv v) + div (2μD)

(здесь мы воспользовались очевидным равенством div (φ(x)I) = grad φ, выполненным для любой гладкой функции φ: R³ → R) Для вычисления P : D введем девиатор тензора D формулой D′ = D – ¹/₃(div v)I и определим диссипативную функцию Φ формулой

Φ =  ( λ +  2 3 ) (div v)2 + 2μD ′: D

Тогда, учитывая, что trD = tr D* = div v, а также, что

D′ : D = tr [ ( D –  1 2 (div v)I ) * ºD ]  =trD*ºD –  1 3 (div v)2,

имеем

P : D = tr (P*ºD) = = tr ([( – p + λdiv v)I + 2μD]*ºD) = = tr (– pD) + tr [λ(div v)D] + tr (2μD*ºD) = = –pdiv v + λ(div v)2 + 2μ·tr D*ºD =

= –pdiv v + λ(div v)2 +  2 3 μ(div v)2 +

+ 2μ·tr D*ºD –  2 3 μ(div v)2 =

= –pdiv v +  ( λ +  2 3 μ ) (div v)2 + 2μD ′: D =

= –pdiv v + Φ.

Дифференцируя основное термодинамическое тождество по t и умножая результат на ρ, получаем

ρ dU dt  = ρΘ ds dt  – pρ dV dt .

С помощью уравнения неразрывности pρ[(dV)/(dt)] вычисляется так:

pρ dV dt  = pρ d(1/ρ) dt  = pρ ( – 1 ρ2 ) dρ dt  =

= –p 1 ρ (–ρdiv v) = pdiv v.

Поэтому

ρ dU dt  = ρΘ ds dt  – pdiv v.

Подставляя вычисленные выражения в модель (F1), получим следующую так называемую классическую модель жидкости:

(F2) { dρ dt  + ρ div v = 0, ρ dv dt  = –∇p + ∇(λdiv v) + div(2μD) + ρf, ρΘ ds dt  = div (κ∇Θ) + Φ.

В этой модели U, λ, μ, κ считаются заданными функциями независимых параметров состояния (ρ, s), а p, ρ, Θ, s связаны соотношениями (5). Модель (F2) вместе с (5) составляют пять скалярных уравнений для пяти скалярных неизвестных (ρ, v, s).

Коэффициенты λ = λ(ρ, s) и μ = μ(ρ, s) называются первым и вторым коэффициентами вязкости.

Класическая модель все еще остается достаточно сложной как в математическом плане, так и плане применимости ее к описанию конкретных жидкостей. Последнее связано с необходимостью знать четыре функции состояния U, λ, μ, κ. Эти функции могут быть получены только из эспериментальных или общетеоретических соображений, и их нахождение представляет собой отдельну весьма трудну задачу. Поэтому мы, продолжая двигаться по избранному пути, рассмотрим частные случаи этой модели, сужая класс описываемых ею жидкостей (находясь в классе аксиомы линейности).