![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
1.5.8. Классическая модель жидкости | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Аксиома линейности, вернее, ее следствие (8), позволяют вычислить в модели (F1) div P и P : D:
(здесь мы воспользовались очевидным равенством div (φ(x)I) = grad φ, выполненным для любой гладкой функции φ: R3 → R) Для вычисления P : D введем девиатор тензора D формулой D′ = D 1/3(div v)I и определим диссипативную функцию Φ формулой
Φ = | ( | λ + | 2 3 | ) | (div v)2 + 2μD ′: D
|
|
Тогда, учитывая, что trD = tr D* = div v, а также, что
D′ : D = tr | [ | ( | D | 1 2 | (div v)I | ) | *
| ºD | ] | =trD*ºD | 1 3 | (div v)2,
|
|
имеем
P : D = tr (P*ºD) =
= tr ([( p + λdiv v)I + 2μD]*ºD) =
= tr ( pD) + tr [λ(div v)D] + tr (2μD*ºD) =
= pdiv v + λ(div v)2 + 2μ·tr D*ºD = |
= pdiv v + λ(div v)2 +
| 2 3 | μ(div v)2 +
|
|
+ 2μ·tr D*ºD | 2 3 | μ(div v)2 =
|
|
= pdiv v + | ( | λ + | 2 3 | μ | ) | (div v)2 + 2μD ′: D =
|
|
Дифференцируя основное термодинамическое тождество по t и умножая результат на ρ, получаем
С помощью уравнения неразрывности pρ[(dV)/(dt)] вычисляется так:
pρ | dV dt | = pρ | d(1/ρ) dt | = pρ | ( | | 1 ρ2 | ) | dρ dt | = |
|
= p | 1 ρ | (ρdiv v) = pdiv v. |
|
Поэтому
Подставляя вычисленные выражения в модель (F1), получим следующую так называемую классическую модель жидкости:
В этой модели U, λ, μ, κ считаются заданными функциями независимых параметров состояния (ρ, s), а
p, ρ, Θ,
s связаны соотношениями (5).
Модель (F2) вместе с (5) составляют пять скалярных уравнений для пяти скалярных неизвестных (ρ, v, s).
Коэффициенты λ = λ(ρ, s) и μ = μ(ρ, s) называются первым и вторым коэффициентами
вязкости.
Класическая модель все еще остается достаточно сложной как в математическом плане, так и плане применимости ее к описанию конкретных жидкостей. Последнее связано с необходимостью знать четыре функции состояния U, λ, μ, κ. Эти функции могут быть получены только из эспериментальных или общетеоретических соображений, и их нахождение представляет собой отдельну весьма трудну задачу. Поэтому мы, продолжая двигаться по избранному пути, рассмотрим частные случаи этой модели, сужая класс описываемых ею жидкостей (находясь в классе аксиомы линейности).