![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
1.2.13. Уравнение притока тепла | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Имеет место следующее уравнение притока тепла
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу (15) и формулы Гаусса Остроградского
∫∫ ∂ωt | qn dσ = |
∫∫ ∂ωt | q·nd σ = | ∫∫∫ ωt | div q dω, |
|
а
∫∫ ∂ωt | v·pn dσ = | ∫∫∫ ωt | div 〈P〈v〉〉 dω. |
|
Поэтому, с помощью (5), интегральный закон сохранения энергии переписывается в виде
∫∫∫ ωt | [ | ρ |
d dt | ( | 1 2 | |v|2 + U
| ) | div (P〈v〉) ρv·f + div q |
] | dω = 0. |
|
Применение леммы 1.2.3. к последнему равенству приводит к уравнению
ρ | d dt | ( | 1 2 | |v|2 + U
| ) | div (P〈v〉) ρv·f + div q = 0. |
| (17) |
Теперь воспользуемся тем, что
а
div (P〈v〉) = v·div P + P : D. |
Доказажем последнее равенство. Как легко видеть,
∂(P〈v〉) ∂x |
= | ∂P(x, t) ∂x | 〈v(x, t)〉 + P(x, t)º | ∂v(x, t) ∂x | . |
|
Далее (напомним, что тензор P симметричен),
tr | ( | Pº | ∂v ∂x | ) | = | Pji
| ( | ∂v ∂x | ) | j
i | = | 1 2 | Pji
| ( | ∂v ∂x | ) | j
i | + | 1 2 | Pji
| ( | ∂v ∂x | ) | j
i | = |
|
= | 1 2 | Pji
| ( | ∂v ∂x | ) | j
i | + | 1 2 | Pij
| ( | ∂v ∂x | ) | i
j | = |
|
= | 1 2 | Pji
| ( | ∂v ∂x | ) | j
i | + | 1 2 | (P*)ji
| [ | ( | ∂v ∂x | ) | *
| ] | j
i | = |
|
= | 1 2 | Pji
| ( | ∂v ∂x | ) | j
i | + | 1 2 | Pji
| [ | ( | ∂v ∂x | ) | *
| ] | j
i | = |
|
= | 1 2 | Pji
| [ | ∂v ∂x | + | ( | ∂v ∂x | ) | *
| ] | j
i | = PjiDij = (P*)jiDij = P : D,
|
|
а
tr | ( | ∂P ∂x | 〈v〉 | ) | = | = ei·
| ( | d ds | P(x + sei)〈v〉 | | |
s = 0 | ) | = |
|
= | = ei·
| ( | d ds | P(x + sei) | | |
s = 0 | 〈v〉 | ) | = |
|
= v· | ( | d ds | P*(x + sei) | | |
s = 0 | 〈ei〉
| ) | = |
|
= v· | ( | d ds | P(x + sei) | | |
s = 0 | 〈ei〉
| ) | = v·div P. |
|
Таким образом,
Остается исключить dv/dt из (17) с помощью уравнения импульса (12):