 |
1.2.13. Уравнение притока тепла |  |
Имеет место следующее уравнение притока тепла
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу (15) и формулы Гаусса — Остроградского
∫∫
∂ωt | qn dσ = – |
∫∫
∂ωt | q·nd σ = – |
∫∫∫
ωt | div q dω, |
|
а
∫∫
∂ωt | v·pn dσ = |
∫∫∫
ωt | div ⟨P⟨v⟩⟩ dω. |
|
Поэтому, с помощью (5), интегральный закон сохранения энергии переписывается в виде
∫∫∫
ωt | [ | ρ |
d
dt | ( | 1
2 |
|v|2 + U
| ) | – div (P⟨v⟩) – ρv·f + div q |
] | dω = 0. |
|
Применение леммы 1.2.3. к последнему равенству приводит к уравнению
| ρ | d
dt | ( | 1
2 |
|v|2 + U
| ) | – div (P⟨v⟩) – ρv·f + div q = 0. |
| (17) |
Теперь воспользуемся тем, что
а
|
div (P⟨v⟩) = v·div P + P : D. |
Доказажем последнее равенство. Как легко видеть,
∂(P⟨v⟩)
∂x |
= | ∂P(x, t)
∂x | ⟨v(x, t)⟩ + P(x, t)º | ∂v(x, t)
∂x | . |
|
Далее (напомним, что тензор P симметричен),
| tr | ( | Pº | ∂v
∂x | ) | = |
Pji
| ( | ∂v
∂x | ) | j
i | = | 1
2 |
Pji
| ( | ∂v
∂x | ) | j
i | + | 1
2 |
Pji
| ( | ∂v
∂x | ) | j
i | = |
|
| = | 1
2 |
Pji
| ( | ∂v
∂x | ) | j
i | + | 1
2 |
Pij
| ( | ∂v
∂x | ) | i
j | = |
|
| = | 1
2 |
Pji
| ( | ∂v
∂x | ) | j
i | + | 1
2 |
(P*)ji
| [ | ( | ∂v
∂x | ) | *
| ] | j
i | = |
|
| = | 1
2 |
Pji
| ( | ∂v
∂x | ) | j
i | + | 1
2 |
Pji
| [ | ( | ∂v
∂x | ) | *
| ] | j
i | = |
|
| = | 1
2 |
Pji
| [ | ∂v
∂x | + | ( | ∂v
∂x | ) | *
| ] | j
i |
= PjiDij = (P*)jiDij = P : D,
|
|
а
| tr | ( | ∂P
∂x | ⟨v⟩ | ) | = |
= ei·
| ( | d
ds | P(x + sei)⟨v⟩ | | |
s = 0 | ) | = |
|
| = |
= ei·
| ( | d
ds | P(x + sei) | | |
s = 0 | ⟨v⟩ | ) | = |
|
| = v· | ( | d
ds | P*(x + sei) | | |
s = 0 |
⟨ei⟩
| ) | = |
|
| = v· | ( | d
ds | P(x + sei) | | |
s = 0 |
⟨ei⟩
| ) | = v·div P. |
|
Таким образом,
Остается исключить dv/dt из (17) с помощью уравнения импульса (12):